9.1 基本性質 (Basic Properties)

基本性質

先複習以下定理。

定理1. 設 $f$ 在 $z_0$ 點解析且 $f'(z_0)\neq 0$，則存在以 $z_0$ 為中心的圓盤 $D$ 使得 $f$ 在 $D$ 上為1對1。

• [證明]

  因 $f$ 在 $z_0$ 點解析，因此在 $z_0$ 鄰域上的任意點 $z$ 上 $f'(z)$ 存在，並且使得 $f'$ 在 $z_0$ 為連續，又因 $|f'(z)|>0$ 故

  $$\exists D=D_\delta(z_0), \forall z\in D, |z-z_0|<\delta \implies |f'(z)-f'(z_0)|\le \frac{|f'(z_0)|}{2}.$$

  設 $C$ 為 $D$ 內連接任意兩點 $z_1,~z_2$ 之路徑，則有

  $$\begin{align*} |f(z_1)-f(z_2)|&=\left| \int_C f'(z)dz\right| = \left| \int_C f'(z_0)dz - \int_C [f'(z_0)-f'(z)] dz\right|\\ &\ge |f'(z_0)|\cdot |z_2-z_1| -\frac{|f'(z_0)|}{2}\cdot |z_2-z_1|=\frac{|f'(z_0)|}{2}\cdot |z_2-z_1| \end{align*}$$

  因此當 $z_1\neq z_2$ 時， $|f(z_1)-f(z_2)|>0$ 亦即 $f(z_1)\neq f(z_2)$，即 $f$ 在 $D$ 內為1對1函數。$\hspace{10cm}\blacksquare$

設 $w=f(z)=u(x,y) + i v(x,y)$ ，若 $f$ 在 $z_0=(x_0,y_0)$ 解析且 $f'(z_0)\neq 0$ ，則

導數成立，Cauchy-Riemann方程必在 $z_0=(x_0,y_0)$ 成立，即

此外，從$z$-平面到$w$-平面的 Jocobian 計算如下：

因此當 $|f'(z_0)|\neq 0$， $J(x_0,y_0)\neq 0$，亦即 $\exists D$ 使得 $J(x,y)\neq 0,~\forall (x,y)\in D$。

設 $f$ 為定義於 $\mathcal{D}$ 上的解析函數，並令 $z_0\in \mathcal{D}$。若 $f'(z_0)\neq 0$，則

當 $z$ 在 $z_0$ 附近時，稱變換 $w=f(z)$ 有線性近似 (linear approximation)如下：

即對 $z$ 落在 $z_0$ 的鄰域附近時，由於當 $z\to z_0$ 時 $\eta(z)\to 0$，因此變換 $w=f(z)$ 的作用相當於線性變換 (linear transformation) $w=S(z)$。至於線性變換 $w=S(z)$ 的作用說明如下：

$B z$: 表將 $z$ 旋轉 $\text{Arg}(f'(z_0))$角度後，在乘以縮放倍數 $|f'(z_0)|$；

$A-B z_0$: 為將 Bz的值在進行剛性平移 $A-Bz_0$ 的量。

由這兩項作用的說明明顯得知，參考下圖，兩個曲線 $C_1$ 與 $C_2$ 在 $z=z_0$ 之夾角為 $\theta_0$，經過 $S(z)$ 作用後，變成曲線 $K_1=S(C_1)$ 與 $K_2=S(C_2)$，而在 $w_0=S(z_0)$之夾角仍為 $\theta_0$。

其實 $f(z)$ 在 $z=z_0$ 也是保角。設 $C:z(t)=x(t)+i y(t),~-1\le t\le1,~ z(0)=z_0$，並令 $C$ 之切線向量 $\overrightarrow{T}=z'(0)=\begin{bmatrix} x'(0)\\ y'(0)\end{bmatrix}$，此向量之角度為 $\beta=\text{Arg} z'(0)$ (參考下圖)。 經過映射 $w=f(z)$ 作用後，曲線 $C$ 變成

其切線為

設 $\alpha=f'(z_0)$，則

即 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 點之作用便是將向量 $\overrightarrow{T}$ 旋轉 $f'(z_0)$ 的角度。

定義9.1-1. 若函數 $w=f(z)$ 能保持有向曲線間在 $z_0$ 的夾角之大小與方向，則稱此映射 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 為保角(conformal) 。

定理9.1-1. 設 $f\in\mathscr{A}(\mathcal{D})$ 且 $z_0\in\mathcal{D}$。若 $f'(z_0)\neq 0$，則$f$ 在 $z_0$ 為保角。

• [證明]

  參考下圖：

  

  存在 $r_k>0$ 使得 $C_k=C_{r_k}^+(z_k)$ ($z_k\in \text{Int}(C_k)$), $\forall k=1,2,\ldots,n$，且當 $j\neq k$ 時， $C_j\cap C_k=\empty$ 。由定理6.4-4(擴充Cauchy-Goursat定理)因得

  $$\oint_{\mathcal{C}}f(z)dz=\oint_{C_1} f(z) dz+\cdots+\oint_{C_n}f(z)dz=\sum_{k=1}^n \oint_{C_k} f(z)dz.$$

  對任意的 $C_k$ 而言，$f \in \mathscr{A}(D_{r_k}^*(z_k))$，由式(8.1-1)得

  $$\oint_{C_k} f(z) dz =2\pi i ~\text{Res}[f,z_k].$$

  因此結合所有的閉合路徑，可得

  $$\oint_{\mathcal{C}}f(z)dz=\sum_{k=1}^n \oint_{C_k} f(z)dz = 2\pi i~\sum_{k=1}^n \text{Res}[f,z_k].$$

  注意：若某個 $z_j$ 為可移除的孤立奇異點，則因對應的 $c_{-1}=0$，因此 $\displaystyle \oint_{C_j}f(z)dz=0$。 $\hspace{0cm}\blacksquare$

範例9.1-1. 映射 $w=f(z)=\cos z$ 在 $z=i,~1,~\pi+i$ 為保角。

• [解]

  因 $f(z)=-\sin z$，則

  $$\begin{align*} f'(i)&=-\sin i=-i\sinh 1,\qquad f'(1)=-\sin 1,\\ f'(\pi+i)&=-\sin(\pi+i)=\sin(i)=i\sinh 1. \end{align*}$$

  因此當 $z=i,~1,~\pi+i$ 時 $f'(z_0)\neq 0$ ，亦即由定理9.1-1知 $f$ 在這三個點為保角。對應的旋轉角度為

  $$\alpha_1 = \text{Arg} f'(i)=-\frac{\pi}{2},\quad \alpha_2 = \text{Arg} f'(1)=\pi, \quad \alpha_3 = \text{Arg} f'(\pi+i)=\frac{\pi}{2}.$$

定理9.1-2. 設 $f$ 在 $z_0$ 解析。若 $f'(z_0)=f''(z_0)=\cdots=f^{(k-1)}(z_0)=0, f^{(k)}(z_0)\neq 0$，則$f$ 將在 $z_0$ 之夾角放大 $k$ 倍。

• [證明]

  因 $f'(z_0)=f''(z_0)=\cdots=f^{(k-1)}(z_0)=0, f^{(k)}(z_0)\neq 0$，因此 $z_0$ 為 $f$ 之 $k$ 階極點；再加上 $f$ 在 $z_0$ 解析，故

  $$f(z)=(z-z_0)^k g(z),$$

  其中 $g$ 在 $z_0$ 解析並且 $g(z_0)\neq 0$。由於 $w=f(z)$ 及 $w_0=f(z_0)$，可得

  $$\arg(w-w_0)=\text{Arg}[f(z)-f(z_0)]=k \text{Arg}(z-z_0)+\text{Arg}[g(z)].$$

  

  因此沿曲線 $C$ 在 $z_0$ 之切線方向傾角為 $\beta = \lim\limits_{z\to z_0} \text{Arg}(z-z_0)$，則 $K$ 在 $w_0$ 之切線方向傾角為

  $$\gamma= \lim_{w\to w_0} \text{Arg}(w-w_0)=k \beta+\delta,\quad \delta=\text{Arg}[g(z_0)].$$

  同理其映射曲線 $K_1$ 與 $K_2$ 之夾角為 $\Delta \gamma$ 為

  $$\Delta \gamma = \gamma_2-\gamma_1=k(\beta_2-\beta_1)=k\Delta \beta.$$

  $\hspace{9.5cm}\blacksquare$

範例9.1-2. 推導函數 $w=f(z)=z^2$ 將區域 $S=\{x+i y| 0<x<1,~0<y<1\}$ 映射到上平面 $\text{Im}(w)>0$且在曲線 $u=1-\frac{v^2}{4}$ 以及 $u=-1+\frac{v^2}{4}$之下的區域。

• [解]

  $f'(z)=2z$，因此當 $z\neq 0$ 時， $f$ 為保角；而在 $z=0$ 時，$f'(0)=0,~f''(0)=2\neq 0$，所以 $f$ 將 $z=0$ 處之夾角會放大兩倍。

  由於 $z=x+i y$，則 $w=f(z)=z^2=(x+i y)^2=x^2-y^2+i2xy$，而 $w=u+i v$，因此

  $$\begin{cases} u(x,y)=x^2-y^2,\\ v(x,y)=2 x y. \end{cases}$$

  考慮 $S$ 之邊界被 $w=f(z)$ 作用下之圖形：

  

  (a) $y=0,~0\le x\le 1 \implies 0\le u\le 1,~v=0$，
  (b)
  $x=0,~0\le y\le 1 \implies -1\le u\le 0,~v=0$，
  (c)
  $x=1,~0\le y\le 1 \implies \begin{cases} u=1-y^2, \\ v=2y, \end{cases} \implies u=1-\frac{v^2}{4}$，
  (d)
  $y=1,~0\le x\le 1 \implies \begin{cases} u=x^2-1, \\ v=2x, \end{cases} \implies u=-1+\frac{v^2}{4}$。

  因此 $f(S)$ 之圖形為 $\text{Im}(w)>0$，並落在 $u=1-\frac{v^2}{4},~u=-1+\frac{v^2}{4}$ 下的區域。以 $z_0 = \frac{2}{5}(1+i)$ 為例，沿 $C_1:0\le x\le1, y=\frac{2}{5}$ 而言，其參數式為 $z(t)=\frac{2}{5}(t+1)+\frac{2}{5}i,~-1\le t\le \frac{3}{2}$，因此

  $$\overrightarrow{T}_1 = z'(0)=\frac{2}{5}\begin{bmatrix} 1 \\0 \end{bmatrix},\quad \beta_1 =\text{Arg}~ z'(0)=0,$$

  又 $f'(z_0)=2z_0=\frac{4}{5}(1+i)$， $\alpha=\frac{\pi}{4}$； $w_0=f(z_0)=\frac{8}{25}i$， $w(t)=\frac{4}{25}[t^2+2t+2(t+1)i]$、$w'(t)=\frac{8}{25}(t+1+i)$，因此

  $$\overrightarrow{T}_1^* = w'(0)=\frac{8}{25}\begin{bmatrix} 1 \\1 \end{bmatrix},\quad \gamma_1 =\text{Arg}~ w'(0)=\frac{\pi}{4}=\alpha+\beta_1.$$

  若沿 $C_2:x=\frac{2}{5},~0\le y\le1$ 而言，其參數式為 $z(t)=\frac{2}{5}+\frac{2}{5}(t+1)i,~-1\le t\le \frac{3}{2}$，因此

  $$\overrightarrow{T}_2 = z'(0)=\frac{2}{5}\begin{bmatrix} 0 \\1 \end{bmatrix},\quad \beta_2 =\text{Arg}~ z'(0)=\frac{\pi}{2},$$

  而且 $w(t)=\frac{4}{25}[-t^2-2t+2(t+1)i]$、$w'(t)=\frac{8}{25}(-t-1+i)$，因此

  $$\overrightarrow{T}_2^* = w'(0)=\frac{8}{25}\begin{bmatrix} -1 \\1 \end{bmatrix},\quad \gamma_2 =\text{Arg}~ w'(0)=\frac{3\pi}{4}=\alpha+\beta_2.$$

  驗證 $K_1$ 和 $K_2$ 之夾角為 $\Delta \gamma=\gamma_2-\gamma_1=\frac{\pi}{2}=\beta_2-\beta_1=\Delta \beta$，及等於 $C_1$ 和 $C_2$ 之夾角。

以下討論函數 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 點附近之逆映射 $z=g(w)$。先將 $w=f(z)$ 表成分量。因 $\vec{r}=u(x,y) \vec{i}+v(x,y)\vec{j}$ 則有

故 $d \sigma = |dx \vec{r}_x\times dy \vec{r}_y|=|\vec{r}_x \times \vec{r}_y| dx dy$，因此

所以

此外，由於 $f'(z_0)\neq 0$，因此在 $z_0=x_0+i y_0$ 點上之 Jacobinan 如式(9.1-1)所示為

因此在 $w_0=f(z_0)$ 點附近之逆映射 $z=g(w)$ 存在，而且其導數為