6.2 圍線 (Contour)

在複數平面上一個曲線 $\mathcal{C}$ 為一點集合，其參數式為 $z(t),~t\in[a,b]$ ，即

\mathcal{C}=\{z(t)~|~t\in[a,b]\}\tag{6.1}

事實上曲線 $\mathcal{C}$ 即是函數 $z:[a,b]\to\mathbb{C}$ 值域所成之集合，而 $z(t)$ 稱為曲線 $\mathcal{C}$ 之參數式。

有關常見的名詞說明如下：

若 $z$ 為1-1，曲線 $\mathcal{C}$ 稱為簡易曲線 (simple curve) 或稱 Jordan 曲線，即當 $t_1\neq t_2$ 則 $z(t_1) \neq z(t_2)$ ，這時 $\mathcal{C}$ 不會相交。

若始點 $z(a)$ 與終點 $z(b)$ 相等， $z(a)=z(b)$ 則稱 $\mathcal{C}$ 為閉合曲線 (closed curve)。

令 $z(t)=x(t)+i y(t)$ ，在路徑 $\mathcal{C}$ 上之沿線速度如同 $\mathbb{R}^2$ 之情形，即透過瞬間變化率來呈現：

z'(t) = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{z(t+\Delta t)-z(t)}{\Delta t}

圖6.1-1 沿曲線 $\mathcal{C}$ 路徑之速度計算

因此速度可以表為

z'(t)=\frac{d z}{d t}=\frac{d x}{d t}+i \frac{d y}{d t},

若 $\displaystyle \frac{d x}{d t}$ 及 $\displaystyle \frac{d y}{d t}$ 存在，則 $z'(t)$ 亦存在。如果對任意的 $t\in[a,b]$ ， $z'(t)$ 均存在且連續，當然在 $t=a$ 及 $t=b$ 為一邊導數存在。

若 $z'(t)\neq 0$ ，這種曲線我們稱之為圓滑曲線 (smooth curve)。

若圓滑曲線且為簡單曲線稱為簡易圓滑曲線。

如果又是閉合曲線，則為簡易閉合圓滑曲線(simply closed smooth curve, s.c.s.c.)。

當我們將曲線 $\mathcal{C}$ 視為函數 $y=f(x)$ 的圖形，則圖上的切線斜率

\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}

亦即是 $z'(t)$ 的虛部除以實部。

式(6-1)所定義的曲線 $\mathcal{C}$ ，其單位切向量為 $\displaystyle T=\frac{z'(t)}{|z'(t)|}$ ，當 $x'(t)=0$ 時， $T=i$ ，表示路徑的切向量是垂直的。一旦 $x'(t)\neq 0$ ，其切向量為連續，因此其的方向角定義為

\text{Arg~} z'(t)=\text{Arg} (x'(t)+i y'(t)).

也從 $t=a$ 到 $t=b$ 連續，因此圓滑曲線會有連續轉動的 $\text{Arg}~z'(t)$ 。

若 $\mathcal{C}$ 為簡易閉合曲線並延 $\mathcal{C}$ 為逆時針轉，則依第一章的 Jordan 定理，曲線 $\mathcal{C}$ 的左側為所圍區域之內部，則 $-\mathcal{C}$ 表示與 $\mathcal{C}$ 同一曲線，但為逆轉(順時針轉)，設 $\mathcal{C}$ 之參數式為 $z(t),~t\in[a,b]$ ，則 $-C$ 之參數式為 $-\mathcal{C}:z(-t),~t\in[-b,-a]$ 。這種曲線我們也稱之為路徑(path)。

當曲線 $\mathcal{C}$ 為可由有限個圓滑曲線 $\{\mathcal{C}_1,\mathcal{C}_2,\ldots,\mathcal{C}_n\}$ 所組成，其頭尾相接，即 $\mathcal{C}_k$ 之終點與 $\mathcal{C}_{k＋1}$ 之起始點重疊，其中 $k=1,2,\ldots,n-1$ ，以及 $\mathcal{C}_n$ 的終點和 $\mathcal{C}_1$ 的起點也重疊，則我們以 $\mathcal{C}=\mathcal{C}_1+\mathcal{C}_2+\cdots+\mathcal{C}_n$ 表示，此圍線是一個閉合的路徑，稱之為圍線(contour) 或迴路(loop)。在複數平面上一個圍線可以將平面分成2個區域，一個區域是有界的稱為內部，另一區域為無界稱之為外界，這一個簡單的結論其證明是相當繁瑣，此為 Jordan 定理。有內外部之分時，我們可以定義沿著迴路是正向或逆向；如果在路徑上行走時內部是在你的左邊，則我們稱你是正向走(positively oriented)，反之稱之為逆向走(negatively oriented)，如下圖所示：

下圖則顯示沿複雜的閉合曲線之正向路徑：

圖6.1-2 沿閉合曲線之正向路徑

範例6.2-1. 計算路徑 $\mathcal{C}$ 從 $-1+i$ 到 $3-i$ 之參數式。

[解]
$C=C_1+C_2+C_3$ ，其中
$\begin{align*} C_1&:z(t)=-1+i+t[(-1)-(-1+i)]=-1+i(1-t),\quad 0\le t\le 1,\\ C_2&:z(t)=-1+t[(1+i)-(-1)]=(-1+2t)+i t,\quad 0\le t\le 1,\\ C_3&:z(t)=1+i+t[(3-i)-(1+i)]=(1+2t)+i(1-2t),\quad 0\le t\le 1. \end{align*}$
調整 $C_2,~C_3$ 的參數起點，讓 $t$ 可以在一個區間內變動，亦即
$\begin{align*} C_2&:z(t)=(-3+2t)+i (t-1),\quad 1\le t\le 2,\\ C_3&:z(t)=1+i+t[(3-i)-(1+i)]=(-3+2t)+i(5-2t),\quad 2\le t\le 3. \end{align*}$
如此可得
$\begin{align*} C:[1,3]&\to C\\ t&\mapsto z(t)=\begin{cases} -1+i(1-t),& 0\le t\le 1,\\ -3+2t+i(t-1),& 1\le t\le 2,\\ -3+2t+i(5-2t),& 2\le t\le 3. \end{cases} \end{align*}$

請練習造 $-\mathcal{C}$ 之參數式。

接下來我們討論一個路徑 $\mathcal{C}$ 之長度 $\ell(\mathcal{C})$ 之計算，若 $\mathcal{C} =\sum\limits_{k=1}^n \mathcal{C}_k$ ，則 $\displaystyle \ell(\mathcal{C})= \sum_{k=1}^n \ell(\mathcal{C}_k)$ ，所以先討論一個圓滑曲線 $\mathcal{C}$ 之長度 $\ell(\mathcal{C})$ 之計算。

設圓滑曲線 $\mathcal{C}$ 之參數式為 $z(t),~t\in[a,b]$ ，令 $S(t)$ 表示從 $z(a)$ 到 $z(t)$ 之路線長，則

\begin{align*} \frac{d S}{d t} &= \lim_{\Delta t\to 0} \frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t} \\ &= \lim_{\Delta t\to 0} \frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{|z(t+\Delta t)-z(t)|} \frac{|z(t+\Delta t)-z(t)|}{\Delta t} \\ &=1\cdot \left| \frac{d z}{d t} \right| \end{align*}

圖6.1-3 曲線 $\mathcal{C}$ 之弧長變化率

故 $\mathcal{C}$ 之長度為

\begin{align*} \ell(\mathcal{C}) &= \int_a^b \frac{d S}{d t} dt =\int_a^b \left| \frac{d z}{d t} \right| dt=\int_a^b \left| d z\right|\\ &=\int_a^b \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^2+\left(\frac{d y}{d t}\right)^2} dt \end{align*}

與微積分的結果相同。

若 $\mathcal{D}$ 為連通集，表示當 $z_1,~z_2\in\mathcal{D}$ 時，存在曲線 $\stackrel{\large\frown}{z_1 z_2}\subset \mathcal{D}。$ 又若 $\mathcal{D}$ 為簡易連通域 (simply connected domain, s.c.d.)則表示其邊界 $\mathcal{C}$ 為簡易閉合曲線且所圍的區域 $\text{Int}(\mathcal{C})\subset\mathcal{D}$ ，亦即表示 $\mathcal{D}$ 內沒有空洞。反之，多重連通區域則區域中有空洞。這裡再提醒一次，所謂域 (domain) 為開連通集。

習題

針對範例6.2-1的路徑 $\mathcal{C}$ ，計算 $-\mathcal{C}$ 之參數式。

計算範例6.2-1的路徑 $\mathcal{C}$ 之長度。