6.1 複數積分 (Complex Integration)

若複數函數 $f(z)$ 可以參數化為 $f(t)$ 之表示法時，複數積分定義如下：

定義6.1-1. 設 $f(t)=u(t)+i v(t)$，其中 $u,~v$ 為 $t$ 之函數，且 $t\in[a,b]$，複數積分(complex integral)定義如下：

若存在函數 $U$ 與 $V$ 為 $u$ 與 $v$ 之反導數，則有

令 $F(t)=U(t) + i V(t)$，則有 $F'(t)=u(t) + i v(t)=f(t)$，因此複數微積分基本定理為

此積分值與路徑無關。複數機分之性質如下：

性質：設 $a,~b,~c\in\mathbb{R}$，$k\in\mathbb{C}$，以及 $f,~g:[a,b]\to\mathbb{C}$，則有：

1. $\displaystyle \int_a^b [f(t)\pm g(t)] dt = \int_a^b f(t)dt \pm \int_a^b g(t) dt$.

2. $\displaystyle \int_a^b f(t) dt = \int_a^c f(t)dt \pm \int_c^b f(t) dt$.

3. $\displaystyle \int_a^b k f(t) dt = k \int_a^b f(t)dt$.

4. $\displaystyle \int_{b}^{a} f(t) dt = -\int_{a}^{b} f(t) dt$.

5. 若 $f=u+i v$ 以及 $g=p+i q$，則有

   $$\int_a^b f(t)\cdot g(t)dt=\int_a^b[u(t)p(t)-v(t)q(t)]dt+i[u(t)q(t)+v(t)p(t)]dt.$$

• [證明]

  只證3，其餘練習。設 $k=c+d~i,~c,d\in\mathbb{R}$，以及 $f(t)=u(t)+i v(t)$，得

  $$kf(t)=cu(t)-dv(t)+i[cv(t)+du(t)]$$

  因此

  $$\begin{align*} \int_a^b k f(t)dt &= \int_a^b [cu(t)-dv(t)]dt+i\int_a^b[cv(t)+du(t)]dt \quad(\text{由定義6.1-1})\\ &=\int_a^b cu(t)dt-\int_a^b dv(t)dt+i\int_a^b cv(t)dt+i\int_a^b d u(t)dt \\ &= c\int_a^b u(t)dt-d\int_a^b v(t)dt+ic\int_a^b v(t)dt+id\int_a^b u(t)dt\\ &=(c+d~i) \int_a^b u(t)dt+i(c+d~i)\int_a^b v(t)dt\\ &=(c+d~i)\int_a^b [u(t)+iv(t)]dt=k\int_a^b f(t)dt. \end{align*}$$

範例6.1-1. 計算$\displaystyle\int_0^1 (t-i)^3 dt$ 之值。

• [解]

  直接計算可得

  $$\int_0^1 (t-i)^3 dt =\int_0^1[t^3-3t+i(1-3t^2)]dt =\frac{t^4}{4}-\frac{3t^2}{2}+i(t-t^3)\bigg|_0^1=-\frac{5}{4}.$$

  若是透過變數變換來做，則令 $w=t-i$， $dw=dt$， 且 $t:0\to 1$ 變換成 $w:-i\to 1-i$，如此一來

  $$\int_0^1(t-i)^3=\int_{i}^{1-i}w^3 dw=\frac{w^4}{4}\bigg|_i^{1-i}=-1-\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}.$$

  此作法存在的問題是當積分上下限為複數時，即 $\displaystyle \int_{z_1}^{z_2} f(z) dz$ 的定義問題(於§6.2討論)，上述計算假設積分式是有定義的。

範例6.1-2. 計算$\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{2} \exp(t(1+i)) dt$ 之值。

• [解]

  $$\begin{align*} \int_0^\frac{\pi}{2} \exp(t(1+i)) dt &=\int_0^\frac{\pi}{2} e^{t(1+i)} dt =\frac{e^{t(1+i)}}{1+i}\bigg|_0^\frac{\pi}{2}=\frac{e^{\frac{\pi}{2}(1+i)-1}}{1+i} =\frac{1-i}{2}(e^{\frac{\pi}{2}}e^{\frac{\pi}{2}i}-1)\\ &=\frac{1-i}{2}(e^{\frac{\pi}{2}}i-1)=\frac{e^{\frac{\pi}{2}}-1}{2}+i\frac{e^{\frac{\pi}{2}}+1}{2}. \end{align*}$$