5.4 三角與雙曲函數 (Trigonometric and Hyperbolic Functions)

三角函數

複數的三角函數定義如下：

定義5.4-1. 令 z∈Cz\in\mathbb{C}，

sin⁡(z)=∑n=0∞(−1)nz2n+1(2n+1)!,cos⁡(z)=∑n=0∞(−1)nz2n(2n)!,(5.4-1a)\sin(z)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos(z)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}, \tag{5.4-1a}

以及

tan⁡(z)=sin⁡(z)cos⁡(z), cot⁡(z)=cos⁡(z)sin⁡(z), sec⁡(z)=1cos⁡(z), csc⁡(z)=1sin⁡(z).(5.4-1b)\tan(z)=\frac{\sin(z)}{\cos(z)},~ \cot(z)=\frac{\cos(z)}{\sin(z)},~ \sec(z)=\frac{1}{\cos(z)},~ \csc(z)=\frac{1}{\sin(z)}. \tag{5.4-1b}

實數時三角函數的 sin⁡(x), cos⁡(x)\sin(x),~\cos(x)的絕對值小於等於1，但在複數系內是否仍然成立？

範例5.4-1. 請問 ∣sin⁡(z)∣≤1|\sin(z)|\le 1， ∀z∈C\forall z\in\mathbb{C} 是否成立？

三角函數的性質說明如下：

性質

  1. 由定義5.3-1知
    ddzsin⁡(z)=∑n=0∞(−1)nddzz2n+1(2n+1)!=∑n=0∞(−1)nz2n(2n)!=cos⁡(z),ddzcos⁡(z)=∑n=1∞(−1)nddzz2n(2n)!=∑n=1∞(−1)nz2n−1(2n−1)!=∑n=0∞(−1)n+1z2n(2n)!=−sin⁡(z).\begin{align*} \frac{d}{dz}\sin(z) &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{d}{dz}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}=\cos(z), \\ \frac{d}{dz}\cos(z) &= \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{d}{dz}\frac{z^{2n}}{(2n)!} =\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!} =\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1} \frac{z^{2n}}{(2n)!} \\ &=-\sin(z). \end{align*}
  1. sin⁡(−z)=∑n=0∞(−1)n(−z)2n+1(2n+1)!=∑n=0∞(−1)n−z2n+1(2n+1)!=−sin⁡(z)\sin(-z) = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(-z)^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{-z^{2n+1}}{(2n+1)!}=-\sin(z)，

    cos⁡(−z)=∑n=0∞(−1)n(−z)2n(2n)!=∑n=0∞(−1)nz2n(2n)!=cos⁡(z)\cos(-z) = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(-z)^{2n}}{(2n)!}=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}=\cos(z)。
  1. 由於 in={(−1)ki,n=2k+1,(−1)k,n=2k,i^n=\begin{cases} (-1)^k i, & n=2k+1, \\ (-1)^k, & n=2k,\end{cases}，故

    eiz=∑n=0∞(iz)nn!=∑n=0∞inznn!=∑k=0∞(i)2kz2k(2k)!+∑k=0∞(i)2k+1z2k+1(2k+1)!=∑k=0∞(−1)kz2k(2k)!+i∑k=0∞(−1)kz2k+1(2k+1)!=cos⁡(z)+isin⁡(z),\begin{align*} e^{iz}&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(iz)^n}{n!} =\sum_{n=0}^\infty \frac{i^n z^n}{n!} =\sum_{k=0}^\infty \frac{(i)^{2k} z^{2k}}{(2k)!} +\sum_{k=0}^\infty \frac{(i)^{2k+1} z^{2k+1}}{(2k+1)!} \\ &=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k} z^{2k}}{(2k)!} +i\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k} z^{2k+1}}{(2k+1)!} = \cos(z)+i\sin(z), \end{align*}

    以及 e−iz=cos⁡(z)−isin⁡(z)e^{-iz}=\cos(z)-i\sin(z)，因此

    cos⁡(z)=eiz+e−iz2,sin⁡(z)=eiz−e−iz2i.\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},\quad \sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.
  1. 驗證實數的關係 sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1, ∀x∈R\sin^2(x)+\cos^2(x)=1,~\forall x\in\R，在複數是否仍然成立。
    sin⁡2(z)+cos⁡2(z)=(eiz−e−iz2i)2+(eiz+e−iz2)2=14[−(e2iz−2+e−2iz)+(e2iz+2+e−2iz)]=1,\begin{align*} \sin^2(z)+\cos^2(z)&=\left(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\right)^2+\left(\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\right)^2 \\ &=\frac14\left[-(e^{2iz}-2+e^{-2iz})+(e^{2iz}+2+e^{-2iz})\right]=1, \end{align*}

    ∀z∈C\forall z\in\mathbb{C}，即此恆等式仍然成立。

  1. 驗證實數的關係 sin⁡(x1+x2)=sin⁡(x1)cos⁡(x2)+cos⁡(x1)sin⁡(x2), ∀x1, x2∈R\sin(x_1+x_2)=\sin(x_1)\cos(x_2)+\cos(x_1)\sin(x_2),~\forall x_1,~x_2\in\R，在複數是否仍然成立。由
    sin⁡(z1+z2)=ei(z1+z2)−e−i(z1+z2)2i=eiz1eiz2−e−iz1e−iz22i,\sin(z_1+z_2)=\frac{e^{i(z_1+z_2)}-e^{-i(z_1+z_2)}}{2i} =\frac{e^{i z_1}e^{iz_2}-e^{-iz_1}e^{-iz_2}}{2i},

    以及

    sin⁡(z1)cos⁡(z2)+cos⁡(z1)sin⁡(z2)=eiz1−e−iz12ieiz2+e−iz22+eiz1+e−iz12eiz2−e−iz22i=14i[eiz1eiz2−e−iz1eiz2+eiz1e−iz2−e−iz1e−iz2+eiz1eiz2+e−iz1eiz2−eiz1e−iz2−e−iz1e−iz2]=14i[eiz1eiz2−e−iz1e−iz2+eiz1eiz2−e−iz1e−iz2]=eiz1eiz2−e−iz1e−iz22i\begin{align*} &\sin(z_1)\cos(z_2)+\cos(z_1)\sin(z_2) =\frac{e^{i z_1}-e^{-i z_1}}{2i} \frac{e^{i z_2}+e^{-i z_2}}{2} +\frac{e^{i z_1}+e^{-i z_1}}{2} \frac{e^{i z_2}-e^{-i z_2}}{2i}\\ &=\frac{1}{4i}\left[e^{i z_1}e^{i z_2}-e^{-i z_1}e^{i z_2}+ e^{i z_1}e^{-i z_2}-e^{-i z_1}e^{-i z_2} +e^{i z_1}e^{i z_2}+e^{-i z_1}e^{i z_2}-e^{i z_1}e^{-i z_2}-e^{-i z_1}e^{-i z_2} \right]\\ &=\frac{1}{4i}\left[e^{i z_1}e^{i z_2}-e^{-i z_1}e^{-i z_2} +e^{i z_1}e^{i z_2}-e^{-i z_1}e^{-i z_2} \right] =\frac{e^{i z_1}e^{i z_2}-e^{-i z_1}e^{-i z_2}}{2i} \end{align*}

    因此對任意的  z1, z2∈Cz_1,~z_2\in\mathbb{C}，則有 sin⁡(z1+z2)=sin⁡(z1)cos⁡(z2)+cos⁡(z1)sin⁡(z2)\sin(z_1+z_2)=\sin(z_1)\cos(z_2)+\cos(z_1)\sin(z_2)；同理可得cos⁡(z1+z2)=cos⁡(z1)cos⁡(z2)−sin⁡(z1)sin⁡(z2)\cos(z_1+z_2)=\cos(z_1)\cos(z_2)-\sin(z_1)\sin(z_2)。

  1. 週期性：由前項得知
    sin⁡(z+2π)=sin⁡(z)cos⁡(2π)+cos⁡(z)sin⁡(2π)=sin⁡(z),cos⁡(z+2π)=cos⁡(z)cos⁡(2π)−sin⁡(z)sin⁡(2π)=cos⁡(z).\sin(z+2\pi)=\sin(z)\cos(2\pi)+\cos(z)\sin(2\pi)=\sin(z),\\ \cos(z+2\pi)=\cos(z)\cos(2\pi)-\sin(z)\sin(2\pi)=\cos(z).

    即 sin⁡(z)\sin(z) 與 cos⁡(z)\cos(z) 均為週期等於 2π2\pi 之週期函數。同樣展可得對任意的 z∈Cz\in\mathbb{C}，下面關係成立：

    {sin⁡(z+π)=−sin⁡(z),cos⁡(z+π)=−cos⁡(z),{sin⁡(z+π2)=cos⁡(z),cos⁡(z+π2)=−sin⁡(z).\begin{cases} \sin(z+\pi)=-\sin(z),\\ \cos(z+\pi)=-\cos(z), \end{cases}\quad \begin{cases} \sin(z+\frac{\pi}2)=\cos(z),\\ \cos(z+\frac{\pi}2)=-\sin(z). \end{cases}
  1. sin⁡(z)=0  ⟺  z=nπ,cos⁡(z)=0  ⟺  z=(n+12)π, n∈Z.\sin(z)=0\iff z=n\pi,\quad \cos(z)=0\iff z=(n+\frac12)\pi,~n\in\Z. 

這兩個基本三角函數的映射圖形如下：

雙曲函數

複數的雙曲函數定義如下：

定義5.4-2. 令 z∈Cz\in\mathbb{C}，

sinh⁡(z)=ez−e−z2,cosh⁡(z)=ez+e−z2,(5.4-2a)\sinh(z)=\frac{e^z-e^{-z}}{2},\quad \cosh(z)=\frac{e^z+e^{-z}}{2}, \tag{5.4-2a}

以及

tanh⁡(z)=sinh⁡(z)cosh⁡(z), coth⁡(z)=cosh⁡(z)sinh⁡(z), sech(z)=1cosh⁡(z), csch(z)=1sinh⁡(z).(5.4-2b)\tanh(z)=\frac{\sinh(z)}{\cosh(z)},~ \coth(z)=\frac{\cosh(z)}{\sinh(z)},~ \text{sech}(z)=\frac{1}{\cosh(z)},~ \text{csch}(z)=\frac{1}{\sinh(z)}. \tag{5.4-2b}

雙曲函數的性質說明如下：

性質
設
z, z1, z2∈Cz,~z_1,~z_2\in\mathbb{C}，下列性質成立：

  1. 導數計算如下：
    ddzsinh⁡(z)=ez+e−z2=cosh⁡(z),ddzcosh⁡(z)=ez−e−z2=sinh⁡(z).\frac{d}{dz}\sinh(z)=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}=\cosh(z),\quad \frac{d}{dz}\cosh(z)=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}=\sinh(z).
  1. sinh⁡(−z)=e−z−ez2=−sinh⁡(z), cosh⁡(−z)=e−z+ez2=cosh⁡(z)\sinh(-z)=\frac{e^{-z}-e^{z}}{2}=-\sinh(z),~\cosh(-z)=\frac{e^{-z}+e^{z}}{2}=\cosh(z)。
  1. cosh⁡2(z)−sinh⁡2(z)=14[(e2z+2+e−2z)−(e2z−2+e−2z)]=1\cosh^2(z)-\sinh^2(z)=\frac14\left[(e^{2z}+2+e^{-2z})-(e^{2z}-2+e^{-2z})\right]=1。
  1. sinh⁡(z1+z2)=12(ez1ez2−e−z1e−z2)\sinh(z_1+z_2)=\frac12(e^{z_1}e^{z_2}-e^{-z_1} e^{-z_2})，而
    sinh⁡(z1)cosh⁡(z2)+cosh⁡(z1)sinh⁡(z2)=ez1−e−z12ez2+e−z22−ez1+e−z12ez2−e−z22=ez1ez2−e−z1ez2+ez1e−z2−e−z1e−z2+ez1ez2+e−z1ez2−ez1e−z2−e−z1e−z24=ez1ez2−e−z1e−z22\begin{align*} \sinh(z_1)\cosh(z_2)+\cosh(z_1)\sinh(z_2) &=\frac{e^{z_1}-e^{-z_1}}{2}\frac{e^{z_2}+e^{-z_2}}{2} - \frac{e^{z_1}+e^{-z_1}}{2} \frac{e^{z_2}-e^{-z_2}}{2}\\ &=\frac{e^{z_1}e^{z_2}-\cancel{e^{-z_1}{e^{z_2}}}+e^{z_1}e^{-z_2}-\cancel{e^{-z_1}e^{-z_2}}+\cancel{e^{z_1}e^{z_2}}+e^{-z_1}e^{z_2}-\cancel{e^{z_1}e^{-z_2}}-e^{-z_1}e^{-z_2}}{4} \\ &=\frac{e^{z_1}e^{z_2}-e^{-z_1}e^{-z_2}}{2} \end{align*}

    因此 sinh⁡(z1+z2)=sinh⁡(z1)cosh⁡(z2)+cosh⁡(z1)sinh⁡(z2)\sinh(z_1+z_2)=\sinh(z_1)\cosh(z_2)+\cosh(z_1)\sinh(z_2)。

    同理可得 cosh⁡(z1+z2)=cosh⁡(z1)cosh⁡(z2)+sinh⁡(z1)sinh⁡(z2)\cosh(z_1{\color{red}+}z_2)=\cosh(z_1)\cosh(z_2){\color{red}+}\sinh(z_1)\sinh(z_2)。

  1. 週期性：由 ei2nπ=1, n∈Ze^{i2n\pi}=1,~n\in\Z 可得
    sinh⁡(z+2πi)=ezei2π−e−ze−i2π2=ez−e−z2=sinh⁡(z),cosh⁡(z+2πi)=ezei2π+e−ze−i2π2=ez+e−z2=cosh⁡(z).\sinh(z+2\pi i)=\frac{e^{z}e^{i2\pi}-e^{-z}e^{-i2\pi}}{2} =\frac{e^{z}-e^{-z}}{2} =\sinh(z),\\ \cosh(z+2\pi i)=\frac{e^{z}e^{i2\pi}+e^{-z}e^{-i2\pi}}{2} =\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}=\cosh(z).

    即 sinh⁡(z)\sinh(z) 與 cosh⁡(z)\cosh(z) 均為週期等於 2πi2\pi i 之週期函數 (與 eze^{z}相同)。

這兩個基本雙曲函數的映射圖形如下：

三角函數和雙曲函數之關係

由於

sin⁡(z)=eiz−e−iz2i,cos⁡(z)=eiz+e−iz2,sinh⁡(z)=ez−e−z2,cosh⁡(z)=ez+e−z2,\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\quad \cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \\ \sinh(z)=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2},\quad \cosh(z)=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2},

可得

cos⁡(z)=cosh⁡(iz),sin⁡(z)=sinh⁡(iz)i,cosh⁡(z)=cos⁡(iz),sinh⁡(z)=−isin⁡(iz) (or sin⁡(iz)=isinh⁡(z)),\begin{align*} \cos(z)=\cosh(iz),\quad &\sin(z)=\frac{\sinh(iz)}{i},\\ \cosh(z)=\cos(iz),\quad &\sinh(z)=-i\sin(iz)~(\text{or~}\sin(iz)=i\sinh(z)), \tag{5.4-3} \end{align*}

此外，由

eiz=e−y+ix=e−ycos⁡(x)+ie−ysin⁡(x),e−iz=ey−ix=eycos⁡(x)−ieysin⁡(x),e^{iz}=e^{-y+ix}=e^{-y}\cos(x) + i e^{-y}\sin(x), \\ e^{-iz}=e^{y-ix}=e^{y}\cos(x) - i e^{y}\sin(x),

知

sin⁡(z)=eiz−e−iz2i=cos⁡(x)e−y−ey2i+isin⁡(x)e−y+ey2i,cos⁡(z)=eiz+e−iz2=cos⁡(x)e−y+ey2+isin⁡(x)e−y−ey2,\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} =\cos(x) \frac{e^{-y}-e^{y}}{2i} +i \sin(x)\frac{e^{-y}+e^{y}}{2i},\\ \cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} =\cos(x) \frac{e^{-y}+e^{y}}{2} +i \sin(x)\frac{e^{-y}-e^{y}}{2},

得

sin⁡(x+iy)=sin⁡(x)cosh⁡(y)+icos⁡(x)sinh⁡(y),cos⁡(x+iy)=cos⁡(x)cosh⁡(y)−isin⁡(x)sinh⁡(y),\sin(x+iy)=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y), \\ \cos(x{\color{red}+}iy)=\cos(x)\cosh(y){\color{red}-}i\sin(x)\sinh(y),

另一種推導方式為使用 sin⁡, cos⁡\sin,~\cos 和差化積，再加上(5.4-3)式的關係可得，即

sin⁡(x+iy)=sin⁡(x)cos⁡(iy)+cos⁡(x)sin⁡(iy)=sin⁡(x)cosh⁡(y)+icos⁡(x)sinh⁡(y),cos⁡(x+iy)=cos⁡(x)cos⁡(iy)−sin⁡(x)sin⁡(iy)=cos⁡(x)cosh⁡(y)−isin⁡(x)sinh⁡(y)\sin(x+iy)=\sin(x)\cos(iy)+\cos(x)\sin(iy) =\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y),\\ \cos(x+iy)=\cos(x)\cos(iy)-\sin(x)\sin(iy) =\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y)

同理可得

sinh⁡(x+iy)=−isin⁡(−y+ix)=sinh⁡(x)cos⁡(y)+icosh⁡(x)sin⁡(y),cosh⁡(x+iy)=cos⁡(−y+ix)=cosh⁡(x)cos⁡(y)+isinh⁡(x)sin⁡(y).\sinh(x+iy)=-i\sin(-y+ix)=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y), \\ \cosh(x{\color{red}+}iy)=\cos(-y+ix)=\cosh(x)\cos(y){\color{red}+}i\sinh(x)\sin(y).

此外，由於

∣sin⁡(x+iy)∣2=sin⁡2(x)cosh⁡2(y)+cos⁡2(x)sinh⁡2(y)=sin⁡2(x)(cosh⁡2(y)−sinh⁡2(y))+(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))sinh⁡2(y)=sin⁡2(x)+sinh⁡2(y),∣cos⁡(x+iy)∣2=cos⁡2(x)cosh⁡2(y)+sin⁡2(x)sinh⁡2(y)=cos⁡2(x)(cosh⁡2(y)−sinh⁡2(y))+(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))sinh⁡2(y)=cos⁡2(x)+sinh⁡2(y)\begin{align*} |\sin(x+iy)|^2&=\sin^2(x)\cosh^2(y)+\cos^2(x)\sinh^2(y) =\sin^2(x)(\cosh^2(y)-\sinh^2(y))+(\sin^2(x)+\cos^2(x))\sinh^2(y)\\ &=\sin^2(x)+\sinh^2(y),\\ |\cos(x+iy)|^2&=\cos^2(x)\cosh^2(y)+\sin^2(x)\sinh^2(y) =\cos^2(x)(\cosh^2(y)-\sinh^2(y))+(\sin^2(x)+\cos^2(x))\sinh^2(y)\\ &=\cos^2(x)+\sinh^2(y)\\ \end{align*}

以及

∣sinh⁡(x+iy)∣2=sinh⁡2(x)+sin⁡2(y),∣cosh⁡(x+iy)∣2=sinh⁡2(x)+cos⁡2(y),\begin{align*} |\sinh(x+iy)|^2&=\sinh^2(x)+\sin^2(y),\\ |\cosh(x+iy)|^2&=\sinh^2(x)+\cos^2(y),\\ \end{align*}

由於 sinh⁡(x), cosh⁡(x)\sinh(x),~\cosh(x) 為無界函數，得知 sin⁡(z), cos⁡(z), sinh⁡(z), cosh⁡(z)\sin(z),~\cos(z),~\sinh(z),~\cosh(z) 為無界函數，不像在實數域時 sin⁡(x), cos⁡(x)\sin(x),~\cos(x) 的值均落在區間 [−1,1][-1,1] 之內。