5.3 複指數 (Complex Exponent)

本節討論複指數型如 $z^c$，$b^z$ 之定義和性質，其中 $b,~c \in \Complex$。由於當 $z\ne 0$ 時，$\exp(\text{Log}(z))=z$，因而對任意的 $n\in \N$，則有 $\exp(\text{Log}(z^n))=\exp(n~\text{Log}(z))=(\exp(\text{Log}(z)))^n=z^n$。進一步擴充 $n\in \N$ 到 $c\in \R$ 可得如下定義：

$z^c$ 函數

定義5.3-1. 設 $c \in \Complex$，$z\ne 0$，定義 $z^c=\exp(c \log(z))=e^{c\log(z)}$ ，而其主值定義為 $\exp[c~\text{Log}(z)]$ 。

當$z=x \gt 0$， $c \in \R$ 時， $z^c=e^{c\log(z)}=e^{c\ln x}=x^c$，即 $z^c$ 與定義在實數域的 $x^c$ 性質一致。由於 $\log(z)$ 為多值函數，故 $z^c$ 亦為多值函數。

例題 5.3-1. 計算 (a) $4^{\frac12}$ ，(b) $i^i$，以及 (c) $i^{1+i}$。

• [解]

  (a) 已知 $4^{\frac{1}{2}}=\{ w\in\Complex:w^2=4\}$，從§1.4知 $4^{\frac{1}{2}}=\{2,-2\}$；
  或由定義
  定義5.3-1得

  $$\begin{align*} 4^{\frac{1}{2}}&=\exp(\frac{1}{2}\log4)=\exp[\frac{1}{2}+i\text{Arg}(4+2n\pi)]=\exp(\ln2+n\pi i) \\ &=e^{\ln2}e^{n\pi i}=\begin{cases}2,&n\text{為偶數}, \\-2, &n\text{為奇數}. \end{cases} \end{align*}$$

  與前述的結果相同。

  (b) $i^i=\exp(i\log i) =\exp[i(\ln1+i(\frac{\pi}{2}-2n\pi))] =\exp(-\frac{\pi}{2}+2n\pi) =e^{-\frac{\pi}{2}}\cdot e^{2n\pi}$， $n\in \Z$ (注意： $e^{2n\pi}$不是 $e^{i2n\pi}=1$)，亦即 $i^i\in\mathbb{R}$。

  (c) $i^{1+i}=i\cdot i^i=ie^{-\frac{\pi}{2}}e^{2n\pi},~n\in \Z$，亦即 $i^{1+i}\in\mathbb{I}$ 為純虛數。

例題 5.3-2. 計算 $\sqrt{1+i}$ 以及 $i^{i}$ 之主值。

• [解]

  $$\begin{align*} \sqrt{1+i}\text{之主值} &=\exp\left[\frac{1}{2}\text{Log}(1+i)\right]=\exp\left[\frac{1}{2}(\ln \sqrt2+i\frac{\pi}{4})\right] \\ &=\exp[\ln2^{\frac{1}{4}}+i\frac{\pi}{8}] =2^{\frac{1}{4}}e^{i\frac{\pi}{8}}\approx1.09684+0.45509i \end{align*}$$

  $i^i$ 之主值 $=\exp[i~\text{Log}(i)]=\exp[i(i\frac{\pi}{2})]=\exp[-\frac{\pi}{2}]=e^{-\frac{\pi}{2}}\approx0.20788$

接著討論 $z^c$ 之值域，透過極座標 $z=re^{i\theta}$ 來著手。

1. $c=k\in \Z$：

   $\because~k\log(z)=k[\ln r+i(\theta+2n\pi)],$

   $\therefore~z^c=z^k = e^{k\log(z)} =e^{k\ln r}\cdot e^{i(k\theta+2nk\pi)}=e^{k\ln r}\cdot e^{ik\theta}=r^ke^{ik\theta}=(re^{i\theta})^k,$

   $z^c=z^k$ ，同一般的單值冪次函數。

2. $c=\frac{1}{k}$，$k\in\Z$：

   因$\frac{1}{k}\log(z)=\frac{1}{k}[\ln r+i(\theta+2n\pi)]$

   所以$z^c=z^{\frac{1}{k}}=e^{\frac{1}{k}\ln r}\cdot e^{i\frac{\theta+2n\pi}{k}}=e^{\ln r^\frac{1}{k}}\cdot e^{i\frac{\theta+2n\pi}{k}}=r^{\frac{1}{k}}e^{i\frac{\theta+2n\pi}{k}}＝(r e^{i\theta})^\frac1k e^{i\frac{2n\pi}{k}}$，$n=0,1,2,\cdots ,k-1$。
   
   $z^c=z^k$ 是 $k$ 個值 $z$ 的 $k$ 次方根函數。

3. $c\in\mathbb Q$，即 $\exists ~k,j\in\Z\text{~s.t.~}c=\frac{j}{k}$：

   $z^c=z^{\frac{j}{k}}=(z^{\frac{1}{k}})^j =r^{\frac{j}{k}}e^{ij\frac{\theta+2n\pi}{k}} =(re^{i\theta})^c e^{i\frac{2jn\pi}{k}}$，$n=0,1,2,\cdots ,k-1$。

   $z^c=z^{\frac{j}{k}}$ 是 $z$ 的 $k$ 次方根函數的 $j$ 倍。

4. $c\in\R\text{\textbackslash}\mathbb Q$ 或 $c\in \Complex$ ：

   當 $c\in\R\text{\textbackslash}\mathbb{Q}$，設 $p=\frac{j}{k},~k,j\in\Z$， 則有 $z^c=\displaystyle\lim_{p\to c}z^p$；
   而當
   $c\in \Complex$，令 $p,~q\in \mathbb{Q}$，則有 $z^c=\lim\limits_{p+qi\to c} z^{p+qi}$。

   $z^c$ 為無窮多值的函數。

函數主要性質歸納如下：

性質　設 $c\in\Complex$，$z\in\Complex$ 且 $z\ne 0$，則下列關係成立：

$(1)~z^{-c}=\displaystyle\frac{1}{z^c}$，

$(2)~z^c\cdot z^d=z^{c+d}$，

$(3)~\displaystyle\frac{z^c}{z^d}=z^{c-d}$，

$(4)~(z^c)^n=z^{nc},~n\in \Z$。

• [證明]

  $(1)~(3)練習。$ $(4)之證明如下：$

  $(z^c)^n=(\exp[c~\log z])^n=(\exp[c(\ln \left|z\right|+i\arg(z))])^n=[e^{c\ln\left|z\right|}\cdot e^{ic\arg(z)}]^n =e^{nc\ln\left|z\right|}e^{inc\arg(z)}$，

  而 $z^{nc}=exp[nc\log~z]=exp[nc(\ln|z|+i \arg(z))]=e^{nc\ln|z|}e^{inc\arg(z)}$，等式成立。

例題 5.3-3. 計算 $2^{\frac19+\frac{i}{50}}$ 之值。

• [解]

  $$\begin{align*} 2^{\frac19+\frac{i}{50}} &=\exp\left[\left(\frac19+\frac{i}{50}\right)\log(2)\right] =\exp\left[\left(\frac19+\frac{i}{50}\right)(\ln{2}+i\arg(2))\right] =\exp\left[(\ln 2+2n\pi i)\left(\frac19+\frac{i}{50}\right)\right] \\ &=\exp\left[\frac{\ln 2}{9}-\frac{n\pi}{25}+i\left(\frac{\ln 2}{50}+\frac{2n\pi}{9}\right)\right] =2^\frac19 e^{-\frac{25\pi}{25} e^{i(\frac{\ln 2}{50}+\frac{2n\pi}{9})}}. \end{align*}$$

例題 5.3-4. 計算 $(i^2)^i$ 以及 $i^{2i}$之主值。

• [解]

  $$\begin{align*} (i^2)^i&=(-1)^i\text{之主值為}\exp[i~\text{Log}(-1)] =\exp[i(\ln|-1|+i\text{Arg}(-1))] =\exp[-\text{Arg}(-1)]\\ &=\exp[-\pi]=e^{-\pi}. \end{align*}$$

  $$\begin{align*} (i)^{2i}&{之主值為}\exp[2i \text{Log}(i)] =\exp[2i(\ln|i|+i\text{Arg}(i))] =\exp[-2\text{Arg}(i)]\\ &=\exp[-\pi]=e^{-\pi}. \end{align*}$$

  兩者主值相同，但 $(i^2)^i=e^{-(2 n+1)\pi}, (i)^{2i}=e^{-(4 n+1)\pi}, n\in\mathbb{Z}$ 兩者並不是同一個函數。

如何計算 $z^c$ 的導數？令 $f(z)=z^c=\exp[c \log z]$，則有

與實數函數的導數關係 $\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$相同。

$b^z$ 函數

定義5.3-2. 設 $b \in \Complex$，$b\ne 0$，定義 $b^z \triangleq \exp[z \log(b)]$ 為多值函數，而其主值定義為 $\exp[z~ \text{Log}(b)]$ 為單值函數。

如此一來，

即使針對 $\log z$ 之特定分支 $\log_\alpha(z)$(分支切由 $\theta=\alpha$ 來定義)，上述導數關係仍然成立；與對應的實數函數導數關係 $\frac{d}{dx} b^x = \ln b \cdot b^{x}$相同。