5.2 複數對數 (Complex Logarithm) $\log(z)$

此節定義複指數函數的反函數複指數對數。

從上節例題5.1-2可定義 $\log(z)$如下：

定義5.2-1. 設 $z\ne0,~\log(z)= \{w\in\Complex:\exp(w)=z\}$ 即

舉例 $\log(1+\sqrt3i)=\ln\left|1+\sqrt3i\right|+i(\text{Arg}(1+\sqrt3i)+2n\pi)=\ln2+i(\frac{\pi}{3}+2n\pi),n\in Z$。因此 $w=\log(z)$ 之充要條件為 $e^z=w$。

由於為一對多函數，定義對數函數的主值 (principal value) 函數如下：

定義5.2-2. 設 $z\ne 0,~\text{Log}(z)=\ln \left|z \right|+i\text{Arg}(z)$

如此可知

例題5.2-1. $(a)~\log(1+i)=\ln \left|1+i \right| +i\arg(1+i)=\ln\sqrt2+i(\frac{\pi}{4}+2n\pi),n\in\Z$

$\text{Log}(1+i)=\ln\sqrt2+i\frac{\pi}{4}$

$(b)~~\log(i)=\ln \left|i \right| +i\arg(i)=\ln 1+i(\frac{\pi}{2}+2n\pi),n\in\Z$

$\text{Log}(i)=i\frac{\pi}{2}$

性質：

1. $\text{Log}(e)=1,~\text{Log}(-e)=1+i\pi$

   $\text{Log}(1)=0,~\text{Log}(-i\pi)=i\pi$

2. $\begin{aligned} \exp(\text{Log}(z))&=\exp(\ln \left|z \right| +i\text{Arg}(z))=\exp(\ln \left|z \right|)\exp(i \text{Arg}(z))\\ &=\left|z \right|e^{i\text{Arg}(z)}=z,\forall z\ne 0 \end{aligned}$

   令 $z=x+i y$，則有

   $$\begin{align*} \text{Log}(\exp(z))&=\ln \left|\exp(z) \right| +i\text{Arg}(\exp(z))=\ln e^x+i\text{Arg}(e^{iy})\\ &=x+iy= \begin{cases} z, &\pi\lt y\le\pi, \\ z+i2n\pi, &\pi\lt y+2n\pi\le\pi. \end{cases} \end{align*}$$

3. $z=x\ne 0\in \R,~\text{Log}(z)=\ln \left|x \right|+i\text{Arg}(x)=\ln\left|x \right|$；即當 $x\gt 0$ 時，$\text{Log}(x)=\ln x$，可見 $\text{Log}$ 為 $\ln$ 在 $\Complex$ 上之擴延函數。若 $x<0$ 時， $\ln x$ 是無法定義，但從複數的角度，此時$\text{Log}(x)=\ln (-x)+i\pi$，是有定義的，是一個複數，實部是 $\ln |x|$，而虛部為 $i\pi$。

4. $z=re^{i\theta},r\gt 0~\text{且}~-\pi\lt \theta \le\pi,~\text{Log}(z)=\ln r+i\theta$。

5. $\displaystyle\frac{d}{dz}\text{Log}(z)=\frac{1}{z}$
   • [證明]

     法1：因 $\exp(\text{Log}(z))=z$，對此方程兩側微分，得

     $$\exp(\text{Log}(z))\cdot\displaystyle\frac{d}{dz}\text{Log}(z)=1 \implies z\cdot \frac{d}{dz}\text{Log}(z)=1 \implies \frac{d}{dz}\text{Log}(z)=\frac{1}{z}$$

     法2：$w=\text{Log}(r e^{i\theta})=\ln r+i\theta\;(-\pi\lt \theta\le\pi)\triangleq U(r,\theta)+i V(r,\theta)$， 則

     $$⁍$$

     因此U,~V,~滿足柯西黎曼方程是，以及 $U_r,~U_\theta,~V_r,~V_\theta$ 均為 $S$ 上之連續函數，由定理3.2-2知 $\text{Log}$ 為可微，故

     $\displaystyle\frac{d}{dz}\text{Log}(z)=\frac{1}{e^{i\theta}}\left(\frac{\partial U}{\partial r}+i\frac{\partial V}{\partial r}\right)=\frac{1}{re^{i\theta}}=\frac{1}{z}.$

例題5.2-2. 給定 $z_1=-\sqrt3+i$ 與 $z_2=-1+i\sqrt3$，計算 $\text{Log}(z_1),~\text{Log}(z_2)$ 及 $\text{Log}(z_1\cdot z_2)$ 之值。

• [解]

  $z_1=2e^{i\frac{5\pi}{6}},~z_2=2e^{i\frac{2\pi}{3}},~\text{Log}(z_1)=\ln2+i\frac{5\pi}{6},~\text{Log}(z_2)=\ln2+i\frac{2\pi}{3}$

  $z_1\cdot z_2=4e^{i\frac{3\pi}{2}}=4e^{-i\frac{\pi}{2}},~\text{Log}(z_1\cdot z_2)=\ln4-i\frac{\pi}{2}=2\ln2-\frac{\pi}{2}i$

  由此例知 $\text{Log}(z_1)+\text{Log}(z_2)=2\ln2+\frac{3}{2}\pi i\ne\text{Log}(z_1\cdot z_2)$。

此例結果與實數 $\ln x_1 +\ln x_2=\ln(x_1 \cdot x_2)$ 的情形不相，因為主幅角的範圍 (同位角)，如此可得

定理5.2-1. 設 $z_1\ne 0,~z_2\ne 0,~\text{Log}(z_1\cdot z_2)=\text{Log}(z_1)+\text{Log}(z_2)$ 之充要條件為

• [證]

  （自行練習）

一般而言，複數對數函數 $\text{log}$ 之性質如下：

定理5.2-2. 設 $z_1\ne 0,~z_2\ne 0$，下列關係成立：

$(1)~\log(z_1\cdot z_2)=\log(z_1)+\log(z_2)$

$(2)~\log \left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\log(z_1)-\log(z_2)$

$(3)~\log \left(\frac{1}{z}\right)=-\log z$

$(4)~\displaystyle\frac{d}{dz}\log(z)=\frac{1}{z}$

• [證]

  $\begin{aligned} (1)~\log(z_1\cdot z_2)&=\ln\left|z_1\cdot z_2 \right|+i\arg(z_1\cdot z_2)=\ln\left|z_1\right|+\ln\left| z_2 \right|+i [\arg(z_1)+\arg(z_2)] \\ &=[\ln\left|z_1\right|+i\arg(z_1)]+i[\ln\left|z_2\right|+i\arg(z_2)]= \log(z_1)+\log(z_2) \end{aligned}$

  $\begin{aligned} (2)~\text{令}~z_2=\frac{1}{z_3},~\log(z_1/z_3)&=\log(z_1)+\log \left(\frac{1}{z_3}\right)=\log(z_1)+\ln\left|\frac{1}{z_3}\right|+i\arg\left(\frac{1}{z_3}\right) \\ &=\log(z_1)-\ln\left|{z_3}\right|-i\arg(z_3)=\log(z_1)-\log(z_3) \end{aligned}$

  $(3)~\text{令}~z_1=0~\text{與}~z_3=z$，代入 $(2)$ ，可得 $\log\left(\frac{1}{z}\right)=\log(1)-\log(z)=-\log(z)$

  $(4)~\text{令}~w=\log(z) \implies e^w=z,~\displaystyle\frac{d}{dz}e^w=e^w \displaystyle\frac{dw}{dz}=1 \implies \frac{dw}{dz}= \frac{1}{e^w}$，

  $\text{即}~\displaystyle\frac{d}{dz}\log(z)=\frac{1}{z}$ 。

由於 $w=\log z$ 為多值函數，因此要造其分支 (branch) 使其為單值函數（假設此分支切 (branch cut) 的角度為$\alpha$）。例如 $w=\text{Log}(z)$ 即是從 $S=\Complex\text{\textbackslash}\{0\}$ 映射到 $S_0=\{w:-\pi\ \lt \text{Im}(w) \le \pi\}$ 之單值函數，對應的分支切為 $\alpha=-\pi$ 。令 $\alpha\in \R$ ，對應值域為 $S_\alpha=\{w:\alpha\lt\text{Im}(w)\le2\pi+\alpha\}$ 之函數圖形如下：

則函數 $w=f(z)=\log_\alpha(z)=\ln\left| z\right|+i~[\text{Arg}(z)+\pi+\alpha]$ (注意 $\alpha\lt \text{Arg}(z)+\pi+\alpha \le \alpha+2\pi$) 為從 $S \to S_\alpha$ 之單值函數。對應的分支切為射線 $\{re^{i\alpha} :r \gt 0\}$ 為函數 $f$ 之不連續點所在；原點則為此函數之分支點 (branch point)。

若欲將值域從某個 $S_n=\{w:2n\pi-\pi\ \lt y\le2n\pi+\pi\}$ 擴張到整個複平面，則必須重疊多層的 $S$ 才成。令

為螺旋薄片(Spiral sheet) ，則

為水平長條 (horizonal strip)，如此可得黎曼曲面為 $RS=\displaystyle\bigcup_{R=-\infty}^{\infty}RS_k$ ，且 $f(RS)=\Complex$。圖示說明如下：