4.5 Julia 與 Mandelbrot 集合

Newton 迭代法

先回顧求方程式 $f(x)=0$ 根的 Newton 迭代法：

1. 猜測 $x_0$ 之值

2. 計算 $x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$

3. 計算 $x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$

4. 重複可得 Newton 迭代公式： $x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，$n=2,3,\ldots,$

5. 計算到當 $|x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon_1$ 且 $|f(x_n)|<\varepsilon_2$ 則停止計算，否則當迭代計算次數過大時也停止計算。

如此一來可以得到一組序列 $\{x_k\}_{k=0}^\infty=\{x_0, x_1, x_2,\ldots, x_n,\ldots\}$。若迭代收斂則 $\{x_k\}\to c$，其中 $c$ 為 $f(x)=0$ 根，即 $f(c)=0$。

本節的目的就是將這個方法用來求複數方程式 $f(z)=0$ 之根，並觀察計算過程會出現的圖形的呈現方式。此處迭代公式變成

同時所得序列變成 $\{z_k\}_{k=0}^\infty=\{z_0, z_1, z_2,\ldots, z_n,\ldots\}$。

範例4.5-1. 給定 $f(z)=z^2$，當 $z_0=\frac14(1+i)$ 時，執行五次 Newton 法的執行結果並繪圖。

• [解]

  執行五次 Newton 迭代法的結果如下表：

  $k$	$z_k$	$f(z_k)$
  0	$0.25+0.25i$	$1+0.125i$
  1	$-0.875+1.125i$	$0.5-1.96875i$
  2	$-0.222115+0.839423i$	$0.344704-0.372898i$
  3	$0.0362403+0.976383i$	$0.0479896+0.0707687i$
  4	$-0.000861041+0.999581i$	$0.000838353-0.00172136i$
  5	$0.0000003606+0.999999i$	$0.0000005668+0.0000007212i$

  對應圖形如下：

  

  • 參考的 Python 程式如下：

    https://trinket.io/embed/python3/202efccaa1

迭代計算時，若執行 $k$ 次，則 $f(z_k)$ 可視為方程式 $f(z)=0$ 之 殘差(residual)。

範例4.5-2. 證明當 $z_0\in\mathbb{R}$ 時，無法以 Newton 迭代法求得 $f(z)=z^2+1$ 的根。

• [解]

  Newton 迭代法的公式為

  $$z_{n+1}=z_n-\frac{z_n^2+1}{2z_n}=\frac{1}{2}z_n-\frac{1}{2z_n}$$

  因此，當 $z_0\in\mathbb{R}$ 時，$\frac{1}{2}z_0,~\frac{1}{2z_0}\in\mathbb{R}$，亦即 $z_1\in\mathbb{R}$，如此一來，所有的 $z_k\in\mathbb{R},~\forall k\ge 0$。但 $f(z)=z^2+1$ 之根在 $\pm i$，因此 $\{z_k\}$ 無法收斂到這兩個根的任何一個。

Newton 碎形

以下我們討論以求 $f(z)=z^3+1$ 的零點為主，即計算 $z^3+1=0$ 之根，此式有三個根 $-1, ~-\omega, ~-\omega^2$ ，其中 $\omega^3=1$，亦即 $z^3+1=0$ 之根為 $r_1=-1,~r_2=\frac12+\frac{\sqrt{3}}{2}i, ~r_3=\frac12-\frac{\sqrt{3}}{2}i$。數值計算時我們給每個指定一個對應顏色，分別為藍、紅與綠。

設

對應的 Newton 迭代法變為 $z_{n+1}=N(z_n)$，即是將 Newton 迭代法表示成定點迭代(fixed-point iteration)，即求 $f(z)=0$ 等價於計算 $N(z)=z$ 即計算 $N(z)$ 之定點 (不動點)。

計算時先選定包含 $f(z)=0$ 的三個根在內的方形區域 $R$，將之分成小方塊 $R_{ij}$並設對應中心點為 $z_{ij}$，進行下列計算步驟：

1. 以 $z_{ij}$ 為迭代的起始值，進行迭代，即計算 $N(z_{ij}),~N^2(z_{ij}),~N^3(z_{ij}), \ldots$，此處 $N^{k+1}(z)=N(N^{k}(z))$。當迭代所得數值在三根的附近( 針對給定的 $\varepsilon>0$，存在 $m>0$ 使得 $N^m(z_{ij})\in D_{\varepsilon}(r_k)$，即 $N^m(z_{ij})$ 在某個根附近)，或是迭代次數大過給定的最大次數時，停止迭代。

2. 將上一步驟的迭代值若收斂接近的根，即使 $N^m(z_{ij})\in D_{\varepsilon}(r_k)$成立的 $k$，依據 $k$ 之值，將對應的小方塊 $R_{ij}$ 塗上對應的顏色，即 $k=1,~2,~3$ 分別為藍、紅與綠色；若發散則塗成黃色。有所有的小方塊 $R_{ij}$ 所形成的集合稱為 Julia 集合。

上圖為 $f(z)=z^3+1$ 所形成的 Julia 集合，圖上塗藍、紅與綠色的點代表對應小方塊的初始值 $z_0$ 而分別收斂到三個根 the roots $r_1=-1,~r_2=\frac12+\frac{\sqrt{3}}{2}i, ~r_3=\frac12-\frac{\sqrt{3}}{2}i$。這幅圖片的複雜性在於當你觀察到任何兩種顏色看似相遇時，第三種顏色就會在它們之間出現。但隨後，當你更仔細地檢查這第三種顏色與其他某種顏色相遇的區域時，你會再次發現在它們之間有一種不同的顏色。這個過程以無窮的複雜性持續進行。在圖形中似乎沒有任何面積是黃色區域，亦即一定存在一個 $k\in{1,2,3}$，使得 $z_n=N^n(z_0)$ 所形成的數列 $\{z_n\}\to r_k$。

• Python 1: Newton 迭代求 $z^3+1=0$ 之根，參考 Python 程式如下：

  https://trinket.io/embed/python3/266579c64d?runMode=console

並非對所有的函數進行，所得Julia集合是如上圖沒有黃色的方塊，例如對函數 $f(z)=z^3-2z+2$而言，其對應的Julia集合如下圖所示，是有黃色方塊存在的，亦即有些小方塊作為起始點時，Newton 迭代不會收斂到 $f(z)=0$ 的三個根

中之任何一個。

二次映射之Julia 集合

Julia 集合是一種分形結構，由法國數學家Gaston Julia 與 Pierre Fatou 於1918發現，這種 Julia 集合不一定要透過 Newton 迭代來產生，換句話說 Julia 集合形成過程可以經由選定複數函數與一個複數作為初始值，並不斷地進行函數的反覆迭代運算 (定點迭代, fixed-point iteration) 來產生。

考慮二次映射：

選定一個複數 $z_0$ 作為起點進行定點迭代，即

探討數列 $\{z_k\}$ 之性質。

範例4.5-3. 給定 $f_c(z)=z^2+c$，分析當 $c=0$ 時，任意起點的迭代所得數列 $\{z_k\}$ 之性質。

• [解]

  當 $c=0$ 時，$f_0(z)=z^2$。令起使點為 $z_0=r_0 e^{i\theta_0}$ 以及 $z_k = r_k e^{i\theta_k}$，則由 $z_{k+1}=f_0(z_k)$ 可得

  $$\begin{cases} r_{k}&=r_{k-1}^2=r_{k-2}^4=\cdots=r_0^{2^k},\\ \theta_{k}&=2\theta_{k-1}=4\theta_{k-2}=\cdots=2^k \theta_0. \end{cases}$$

  以下依據 $|z_0|$ 之值分成三種情形討論：

  1. $|z_0|=r_0<1$， $\lim\limits_{k\to\infty}r_k =\lim\limits_{k\to\infty}r_0^{2^k}=0$，即 $\{z_k\}\to 0$。

  2. $|z_0|=r_0=1$，因此 $r_k=1,~\forall k$，且 $\theta_k=2^k \theta_0$，故 $z_k\in C_1(0)$，即 $z_k$ 在單位圓上跳動；又若存在 $n,~k$ 使得 $\theta_0= n \pi /2^{k-1}$，則 $\{z_k\}\to 1$。

  3. $|z_0|=r_0>1$， $\lim\limits_{k\to\infty}r_k =\lim\limits_{k\to\infty}r_0^{2^k}=\infty$，即 $\{z_k\}\to \infty$，即 $\{z_k\}$ 為無界數列。

定義4.5-1. (軌跡) 對給定的 $f_c(z)=z^2+c$ 以及起始點 $z_0$ ，定點迭代

所產生的序列 $\{z_k\}_{k=0}^\infty$ 稱為 $z_0$ 在 $f_c$ 作用下的軌跡(orbit)，並記為 $\mathcal{O}(z_0;f_c)=\{z_0,z_1,z_2,\ldots,z_k,\ldots\}$。

令 $K_c$ 表示經 $f_c$ 作用在 $z_0$ 產生有界軌跡的 $z_0$ 所形成集合，則範例4.5-3所對應的 $K_c$ 為 $K_0=\overline{D}_1(0)$。 $K_c$ 的邊界則是 $f_c$ 對應之 Julia 集合，以範例4.5-3為例， $f_0$ 的Julia集合為 $C_1(0)$。

下圖為 $K_{-1.25}$ 之圖形，顏色的變化表示要讓迭代到視為無界(大於選定的上界)所需的次數，此圖顯示 $f_{-1.25}$ 之 Julia 集合為連通(相連)的。

• Python 2: $f(z)=z^3-1.25$ 之Julia 集合之根繪圖所需使用的 Python 如下：

  https://trinket.io/embed/python3/774537daf4

但是對於 $f_{0.285+0.01i}$ 之 Julia 集合(如下圖所是)是不相連的。

定理4.5-1. $K_c$ 邊界為連通的充要條件是 $0\in K_c$ (即 $K_c$ 包含原點在內)，換句話說， $f_c$ 對應之 Julia 集為連通的充要條件是以 $f_c$ 進行定點迭代時 $z_0=0$ 的軌跡是有界的。

• [證明]

  證明超過本書範圍，省略之。

範例4.5-4. 給證明 $f_i$ 的 Julia 集為連通(相連)。

• [解]

  討論 $z_0=0$ 之軌跡，計算可知

  $$z_1=f_i(0)=i,~z_2=f_i(i)=-1+i,~z_3 = f_i(-1+i)=-i,\\z_4=f_i(-i)=-1+i,z_5 = f_i(-1+i)=-i,z_6=-1+i,~z_7=-i,\ldots$$

  因此 $z_0=0$ 之軌跡為 $\{0,i,-1+i, -i, -1+i, -i, \ldots\}$，亦即為有界，由定理4.5-1知 $f_i$ 的 Julia 集為連通。

Mandelbrot 集合

在1980年由法國數學家 Benoit Mandelbrot 使用電腦研究

此集合 $M$ 被命名為 Mandelbrot 集合。換句話說，Mandelbrot 集合就是由使得 $z_k$ 的序列保持有界的所有複數 $c$ 所組成的集合。Mandelbrot 集的圖形如下：

• Python 3: $Q_c(z)=z^2+c$ 之Mandelbort 集合，對應的 Python 程式為

  https://trinket.io/embed/python3/b5463e666e

調整參數 $c$ 的範圍，可以得到以下區域的圖形：

從這三個圖形可以看出當將第一個圖形的上面外凸放大顯示，得到第二個圖形，在將第二個圖形的上邊中間左邊的凸集再放大得到第三個圖形，明顯可以看出第二與三個圖形與第一個圖形類似，再重複放大圖形也會得到相似的結果。這就是所謂的碎形(fractal)結構，即使在無窮小的尺度上，它仍然保持著複雜的結構。

範例4.5-5. 分析軌跡 $\mathcal{O}(0,f_{\frac14})$ 之收歛性。

• [解]

  對應的迭代式為

  $$z_{k+1}=z_k^2+\frac14,\quad z_0=0,\quad k=0,1,2,\ldots$$

  設存在 $k$ 使得 $|z_k|\le \frac12$，則

  $$|z_{k+1}|\le |z_k|^2+\frac14 \le \frac14+\frac14=\frac12.$$

  因此由數學歸納法知 $|z_k|\le \frac12$， $\forall k\ge 0$。又由算幾不等式有

  $$\left|\frac{z_{k+1}}{z_k}\right|^2 =\left|z_k+\frac{1}{4z_k}\right|^2\ge 4 |z_k| \cdot \frac{1}{4|z_k|}=1.$$

  因此 $\{|z_k|\}$ 為遞增，因此 $\{|z_k|\}\to \frac12$ 。由於 $z_k>0$， $\forall k\ge 0$，因此 $\{z_k\}\to \frac12$。

範例4.5-6. 證明 $\{c~:~|c|\le \frac14\}\subset M$ 。

• [解]

  設 $\{z_k\}$ 為 $f_c(z)=z^2+c$ 的 $0$ 的軌跡，其中 $|c|\le \frac14$，則

  $$\begin{align*} z_0 &= 0, \\ z_1 &= f(z_0) = c,\\ z_2 &= f(z_1) = c^2+c,\\ &\vdots\\ z_{k+1} &= f(z_k)=z_k^2+c. \end{align*}$$

  Claim: $|z_k|\le \frac12$.
  當
  $k=0$ 時 $|z_0|=0\le \frac12$成立，假設 $k=n$ 時 $|z_n|\le \frac12$ 成立，則

  $$|z_{n+1}|=|z_n^2+c|\le |z_n^2|+|c|\le\frac14+\frac14=\frac12.$$

  由數學歸納法得證。因此 $\{z_k\}$為有界，亦即 $\{c~:~|c|\le \frac14\}\subset M$ 成立。

類似的作法，可以證明當 $|c|>2$ 時，

因此 $\{|z_{k}|\}$ 為遞增序列，故 $\mathcal{O}(0,f_c)$ 為無界序列，亦即 $c\not\in M$。

範例4.5-7. 分析軌跡 $\mathcal{O}(z_0,f_{-2})$ 之收歛性。

• [解]

  設 $z_k\in\mathcal{O}(z_0,f_{-2})$，則迭代式為

  $$z_{k+1}=z_k^2-2,\quad z_0=0,\quad k=0,1,2,\ldots$$

  依據 $z_k$ 之值分析如下：

  1. 設存在 $k$ 使得 $|z_k|>2$，則有 $|z_{k+1}|=|z_k^2-2|^2\ge |z_k|^2-2>2^2-2=2$，即 $|z_n|>2,~\forall n\ge k$。此外，

     $$\left|\frac{z_{k+1}}{z_k}\right|=\left|z_k-\frac{2}{z_k}\right|\ge |z_k|-\left|\frac{2}{z_k}\right|>2-1=1,$$

     所以 $\{|z_k|\}$為遞增至 $\infty$，因此 $\mathcal{O}(z_0,f_{-2})$ 發散。

  2. 設存在 $k$ 使得 $|z_k|=2$，令 $z_k=2 e^{i\theta}$，則有

     $$⁍$$

     則有

     $$|z_{k+1}|^2=(4\cos(2\theta)-2)^2+16\sin^2(2\theta)=20-16\cos2\theta\ge 20-16=4,$$

     亦即 $|z_{k+1}|\ge 2$。此外，若 $\theta=n\pi$ ($z_k=-2,2$)，則 $z_{n}=2,~\forall n\ge k+1$，因此 $\mathcal{O}(z_0,f_{-2})\to 2$；反之若 $\theta\neq n\pi$ ，有 $|z_{k+1}|>2$，因此 $\mathcal{O}(z_0,f_{-2})$ 發散。

  3. 設存在 $k$ 使得 $|z_k|<2$，分成 $z_k=0$、 $z_k=-1$、$z_k=x_k\in\mathbb{R}$、$z_k=i y_k\in\mathbb{I}$ 來討論。
     1. $z_k=0$ ， $z_{k+1}=z_k^2-2=-2$，變成上面第2部分的情形，亦即 $\mathcal{O}(z_0,f_{-2})\to 2$。
     2. $z_k=-1$ ， $z_{k+1}=z_k^2-2=-1$，亦即 $\mathcal{O}(z_0,f_{-2})\to -1$。
     3. $z_k=x_k\in\mathbb{R}$ ($\mathcal{O}(z_0,f_{-2})$和 $x$-軸相交) ， $z_{k+1}=x_k^2-2\in\mathbb{R}$ 亦即 $\mathcal{O}(z_0,f_{-2})\subset \mathbb{R}$。若 $x_k^2=2$ 時， $z_{k+1}=0$，變成a部分的情形，亦即 $\mathcal{O}(z_0,f_{-2})\to 2$。
     4. $z_k=iy_k,~y_k\in\mathbb{R}$，則 $z_{k+1}=-y_k^2-2 < -2$，即 $z_{k+1}\in\mathbb{R}$ 且 $|z_{k+1}|>2$；再迭代一次

        $$z_{k+2}=z_{k+1}^2+2-2=(y_k^2+2)^2-2=y_k^4+4y_k^2+2>2$$

        也就是說 $z_n\in\mathbb{R},~n\ge k+2$，如由第一部分得知 $\mathcal{O}(z_0,f_{-2})$ 沿著實數軸趨近 $\infty$ 因而發散。

由範例4.5-7知 $\mathcal{O}(0,f_{-2})\to 2$，即 $-2\in M$，因此知 $C_2(0)\cap M\neq \empty$。依據上述的討論 $M$ 滿足關係式 $\overline{D}_\frac14(0)\subset M\subset \overline{D}_2(0)$。

下圖說明 Mandelbrot 集合上的 $c$ 和對應的 Julia 集合的對照：

進一步分析 Mandelbrot 集合

定義4.5-2. (定點、不動點) 若 $F(\alpha)=\alpha$ 則點 $\alpha$ 是函數 $F$ 的定點或不動點(fixed point)。

定義4.5-3. (吸引點) 若 $|F'(\alpha)|<1$ 則點 $\alpha$ 是函數 $F$ 的吸引點 (attracting point)，而當 $|F'(\alpha)|>1$ 則點 $\alpha$ 是函數 $F$ 的排斥點 (pelling point)，。

範例4.5-8. 給定函數 $F(z)=z^2-z+1$，則 $z=1$ 為函數 $F$ 之定點，此因 $F(1)=1^2-1+1=1$。因 $F'(z)=2z-3$，得 $F'(1)=2-3=-1$，即 $z=1$ 非吸引點也非排斥點。

並非所有函數都有不動點，例如 $F(z)=z+1$ 就沒有不動點，因為 $z+1\neq z$。

定點的說明透過實數比較清楚，給定實函數 $y=f(x)$ ，所謂的 $f$ 之定點便是 $y=f(x)$ 和 $y=x$ 之交點。舉例邏輯函數 (logistic function) $L_r(x)=r x (1-x)$ 為例，其定點為 $x=0$ 和 $x=1-\frac1{r}$，由於 $L_r'(x)=r(1-2x)$，因此 $L_r'(0)=r$ 與 $L_r'(1-\frac1{r})=2-r$。一般而言，有興趣的參數範圍是 $r\in[0,4]$，因此兩個定點的吸引角色會互換。

下面為Geogebra的圖示，可以拉動滑桿，觀察 $r$ 變化時，迭代軌跡的變動，這種呈現定點迭代的方式稱為 Cobweb 繪圖(Cobweb plot)。

Geogebra 1: $L(x)=r x (1-x)$ 之Cobweb 繪圖 (可以用滑鼠調整 r 與 A 值 ):

同樣地，二次函數 $f_c(x)=x^2+c$ 由 Geogebra 所得之 Cobweb 繪圖如下：

Geogebra 2: $f_c(x)=x^2+c$ 之Cobweb 繪圖 (可以用滑鼠調整 c 與 A 值 )：

定理4.5-2. 假設 $\alpha$ 是函數 $F$ 的吸性定點，則存在一個圓盤 $D_r(\alpha)$ 使得任何 $z_0\in D_r^*(\alpha)$ 開始進行的迭代都會趨近 $\alpha$，即若 $z\in D_r^*(\alpha)$ 則 $|F(z)-\alpha|<|z-\alpha|$。此外，設 $z_k\in\mathcal{O}(z_0,F)$ 則 $\lim\limits_{k\to \infty}z_k =\alpha$。

• [證明]

  (第一部份) 因 $\alpha$ 是函數 $F$ 的吸性定點，故 $|F'(\alpha)|<1$；由於函數 $F$ 在 $\alpha$ 可微，因此

  $$⁍$$

  選定 $\varepsilon = 1-|F'(\alpha)|$ 則對任意的 $z\in D_r^*(\alpha)$ 有

  $$\left|\frac{F(z)-F(\alpha)}{z-\alpha}\right|-\left|F'(\alpha)\right|\le \left|\frac{F(z)-F(\alpha)}{z-\alpha}-F'(\alpha)\right|<1-|F'(\alpha)|.$$

  亦即

  $$\left|\frac{F(z)-F(\alpha)}{z-\alpha}\right|<1\implies |F(z)-F(\alpha)|=|F(z)-\alpha|<|z-\alpha|.$$

  (第二部份) 設 $z_k\in\mathcal{O}(z_0,F)$ ，由第一部份的結論知

  $$|z_{k+1}-\alpha|=|F(z_k)-\alpha|<|z_k-\alpha|,\quad \forall k\ge 0$$

  因此 $\{|z_k-\alpha|\}$ 為遞減，即 $\{|z_k-\alpha|\}\to0$，因此 $\lim\limits_{k\to \infty}|z_k-\alpha| =0$ ，即 $\lim\limits_{k\to\infty}z_k=\alpha$ 得證。 $\hspace{0.1cm}\blacksquare$

1905年 Fatou 證明有些二次函數 $f_c(z)=z^2+c$ 有吸性定點，且 $\mathcal{O}(0,f_c)$ 收斂到該定點。由於收斂的軌跡必定是有界的，因此從集合 $M$ 的定義知這些 $c$ 都會屬於 $M$ 集合內。下述定理對參數 $c$ 進行刻劃。

定理4.5-3. 二次函數 $f_c(z)=z^2+c$ 具有吸性定點的充要條件為 $|1+\sqrt{1-4c}|<1$ 或$|1-\sqrt{1-4c}|<1$ ，此處 $\sqrt{\phantom{a}}$ 代表主平方根函數。

• [證明]

  設點 $\alpha$ 為 $f_c$ 之吸性定點，亦即 $\alpha$ 滿足方程式 $\alpha^2-\alpha+c=0$，計算時根號取主平方根函數，亦即 $\alpha=\frac{1\pm \sqrt{1-4c}}{2}$，且由於 $\alpha$ 為吸引點，因此 $|f_c'(\alpha)|=|2\alpha|<1$ ，即 $|\alpha|<1$ 得 $|1+\sqrt{1-4c}|<1$ 或$|1-\sqrt{1-4c}|<1$。

定義4.5-4. (n週期) 函數 $F$ 的n週期 (n-cycle) 為集合 $\{z_0,z_1,\ldots,z_{n-1}\}$ 滿足 $z_k=F(z_{k-1},~1\le k\le n-1$ 且 $F(z_{n-1})=z_0$。

定義4.5-5. (吸性n週期) 設函數 $g_n$ 為函數 $F$ 自我合成 $n$ 次，例如 $g_2(z) = (F\circ F)(z)=F(F(z))$。若 $|g_n'(z_0)|<1$ 則稱 $F$ 的n週期 (n-cycle) $\{z_0,z_1,\ldots,z_{n-1}\}$ 為吸引n週期的 (attracting n-cycle) 。

範例4.5-9. 由範例4.5-4知函數 $f_i$ 的軌跡中有2週期的軌跡存在，討論其吸引性。

• [解]

  由函數 $f_i$ 的軌跡 $\{0,i,-1+i, -i, -1+i, -i, \ldots\}$中，存在有2週期，即 $\{-1+i, -i\}$ 與 $\{-i, -1+i\}$ (實際上是同一個)。由於

  $$⁍$$

  因此 $g_2'(z)=4z^3+4iz$。代入2週期上的點，則有 $g_2'(-1+i)=g_2'(-i)=4+4i$，得 $|g_2'(-1+i)|=|g_2'(i)|=|4+4i|>1$，即$\{-1+i, -i\}$為非吸引2週期。換句話說，任何在這兩點的鄰域出發的起始迭代點，經過 $f_i$ 迭代所得軌跡，都不會到收斂到這個週期來。例如選擇 $z_0=-i+0.1$，則 $\mathcal{O}(z_0;f_i)$ 回遠離這個週期解，亦即發散。

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總結

Julia 集合與 Mandelbrot 集合都是數學中引人入勝的分碎形結構，它們各自展示了令人驚嘆的自相似性和複雜性。這兩種集合雖有各自的特點，但它們共享一些基本的數學性質，尤其是在自相似性和從簡單規則中產生複雜結構的能力方面。

Julia 集合以其在任何尺度下局部結構與整體結構相似的特性著稱。這意味著無論我們如何放大或縮小它，都能觀察到相似的形狀和結構。這種特性賦予了 Julia 集合一種視覺上的無窮複雜性，使其成為數學和藝術領域中的重要研究對象。Julia 集合的這種高度複雜性源於一個相對簡單的迭代公式，透過無窮次的迭代，產生出極度複雜的形狀和結構，展現了碎形理論中從簡單規則產生複雜性的核心特徵。

與此同時，Mandelbrot 集合在複數平面上形成的結構同樣展示了驚人的複雜性和對稱美。其碎形邊界上的每一部分都以某種方式反映出整體的形狀，呈現出碎形結構的無窮複雜性。 Mandelbrot 集合的簡單數學定義與其所揭示的深奧數學性質如混沌和自相似性形成鮮明對比，使其成為了動態系統理論的重要研究對象。

在數學領域，Julia 集合和 Mandelbrot 集合都被用來研究複數系統的動態行為和複雜系統的混沌現象。它們幫助我們理解從簡單的數學規則中如何產生出複雜的行為模式。而在藝術領域，這兩種集合的視覺效果引起了廣泛關注。它們的豐富色彩和無窮複雜性使其成為獨特的視覺藝術形式，吸引了眾多藝術家和設計師利用計算機技術將其結構視覺化，並應用於各種藝術作品和設計中。

習題

1. 考慮函數 $f(z)=z^2+1$，以及對應的 $N(z)=\frac12(z-\frac1{z})$，Newton 迭代法為 $z_{k+1}=N(z_k),~k=0,1,2,\ldots$，所產生的序列為 $\{z_k\}$。 回答下列問題：
   1. 證明若 $\text{Im}(z_0)>0$，則 $\{z_k\}$ 完全落在複數的上半平面，即 $\text{Im}(z_k)>0,~\forall k\ge 0$。反之，若 $\text{Im}(z_0)<0$ 時， $\text{Im}(z_k)<0,~\forall k\ge 0$。
      • [解]

        若 $\text{Im}(z_k)>0$，則 $\text{Im}\left(\frac{1}{z_k}\right)=\text{Im}\left(\frac{\bar{z}_k}{|z_k|^2}\right)<0$ 以及因 $z_{k+1}=\frac12(z_k-\frac{1}{z_k})$，所以 $\text{Im}(z_{k+1})>0$。因此由數學歸納法可得證 $\text{Im}(z_k)>0,~\forall k\ge 0$。
        同理可以證明若
        $\text{Im}(z_0)<0$ 時， $\text{Im}(z_k)<0,~\forall k\ge 0$。

   2. 當 $z_0\in\mathbb{R}$ 時，且迭代序列的每一項都有定義，則 $\{z_k\}\subset \mathbb{R}$。
   3. 討論當 $\text{Im}(z_0)>0$ 時，$\{z_k\}$ 收斂到 $i$ 嗎？而當 $\text{Im}(z_0)<0$ 時，$\{z_k\}$ 收斂到 $-i$ 嗎？