4.1 複數數列 (Complex Sequence)

數列

是定義在 $\mathbb{N}$ 或 $\mathbb{N}\cup\{0\}$ 的函數，亦即

數列不一定都要從 $0$ 開始，也可以從 $1$ 開始計數，常見的例子有：

• $\displaystyle\left\{f(n):f(n)=\left(2-\frac1n\right)+i\left(5+\frac1n\right)\right\}_{n=1}^\infty=\left\{\left(2-\frac1n\right)+i\left(5+\frac1n\right)\right\}_{n=1}^\infty$

• $\displaystyle\left\{g(n):g(n)=e^{i\frac{n\pi}{4}}\right\}_{n=0}^\infty=\left\{e^{i\frac{n\pi}{4}}\right\}_{n=0}^\infty$

• $\displaystyle\left\{h(k):h(k)=5+3i+\left(\frac1{1+i}\right)^k\right\}_{k=1}^\infty=\left\{5+3i+\left(\frac1{1+i}\right)^k\right\}_{k=1}^\infty$

• $\displaystyle\left\{r(m):r(m)=\left(\frac14+\frac{i}2\right)^m\right\}_{m=0}^\infty=\left\{\left(\frac14+\frac{i}2\right)^m\right\}_{0}^\infty$

若當 $n\to\infty$ 時，$z_n\to L$，即數列 $\{z_n\}_0^\infty$ 收斂到 $L$，記為 $\{z_n\}_0^\infty\to L$ 或 $\lim\limits_{n\to\infty}z_n=L$。 對應的 $\delta\text{-}\varepsilon$ 的定義則是

定義4.1-1. $\lim\limits_{n\to\infty}z_n=L$ 若且唯若 $\forall \epsilon>0,~\exists N_\varepsilon>0 \text{~使得~}\forall n>N_\varepsilon \implies |z-L|<\varepsilon$。

此定義的可圖示如下，其中 $N_\varepsilon+1$ 表示對應不同的$\varepsilon$，數列進入到 $L$ 之 $\varepsilon$ 的開圓盤之第1個元素為 $z_{N_\varepsilon+1}$，並且不會再繞出該圓盤。

從第二章討論極限的過程，可以得知下列定理成立：

定理4.1-1. 設 $z_n = x_n + i y_n$ 且 $L=u+ iv$，則 $\lim\limits_{n\to\infty}z_n=L$ 的充要條件為 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=u$ 及 $\lim\limits_{n\to\infty}y_n=v$ 。

• [證明]

  (充分條件) 由於 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=u$ 及 $\lim\limits_{n\to\infty}y_n=v$ ，因而 $\forall \varepsilon>0,~\exists N_\varepsilon, M_\varepsilon >0$ 使得

  $$\forall n>N_\varepsilon \implies |x_n-u|<\frac{\varepsilon}{2},\quad \forall n>M_\varepsilon \implies |y_n-u|<\frac{\varepsilon}{2}.$$

  令 $K_\varepsilon=\min\{N_\varepsilon,M_\varepsilon\}$，則 $\forall \varepsilon>0,~\exists K_\varepsilon>0$ 使得

  $$n>K_\varepsilon\implies |z_n-L|=|(x_n-u)+i(y_n-v)|\le |x_n-u|+|y_n-v|<\varepsilon$$

  即得證 $\lim\limits_{n\to\infty}z_n=L$ 。

  (必要條件) 由於 $\lim\limits_{n\to\infty}z_n=L$ ，因而 $\forall \varepsilon>0,~\exists N_\varepsilon >0$ 使得 $n>K_\varepsilon\implies |z_n-L|<\varepsilon$。因此 $\forall \varepsilon>0$，對於此 $N_\varepsilon$，則有

  $$|x_n-u|=|\text{Re}(z_n-L)|\le |z_n-L|<\varepsilon,$$

  即 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=u$ ；同理可證$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=v$ 。

由此定理可以得知

亦即數列收斂表示其實部的數列與虛部的數列分別收斂，而收斂值就是實部與虛部數列的收斂值之組合，換句話說，只要$\{x_n\}$或$\{y_n\}$其中之一發散，$\{z_n\}$發散。

例題4.1-1. 說明 $\{(1+i)^n\}$ 發散。

• [解]

  因為 $(1+i)^n = \left(\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^n=2^{\frac{n}{2}} e^{i \frac{n\pi}{4}}=2^{\frac{n}{2}} \cos \frac{n\pi}{4}+i 2^{\frac{n}{2}} \sin\frac{n\pi}{4}$，由於$\{2^{\frac{n}{2}} \cos \frac{n\pi}{4}\}$發散，所以 $\{(1+i)^n\}$ 。

定義4.1-2. $\{z_n\}_1^\infty$ 為有界(bound)若且唯若 $\exists M>0$ 及 $N\in\mathbb{N}$ 使得 $\forall n\ge N\implies |z_n|<M$ 。

由此定義知若$\{z_n\}$ 是有界，表示由定義中所提之 $N$ 與 $M$，所對應子數列在半徑為$M$的圓盤內，即 $\{z_n\}_M^\infty\subset D_M(0)$。此定義也同義於 $\{z_n\}_1^\infty$ 為有界支出要條件為 $\exists R>0$，$|z_n|<R,~\forall n$ 或 $\{z_n\}_1^\infty\subset D_R(0)$。

定理4.1-2. 若 $\{z_n\}$ 收斂，則 $\{z_n\}$ 是有界的。

• [證明]

  設 $\{z_n\}\to L$，即 $\forall \varepsilon >0, ~\exists N_\varepsilon\in \mathbb{N}$ 使得 $\forall n>N_\varepsilon \implies |z_n-L|<\varepsilon$。取 $N=N_{\varepsilon+1}$，且令 $M=|L|+\varepsilon$，則

  $$\forall n>N_\varepsilon \implies |z_n|=|L+z_n-L|<|L|+|z_n-L|<|L|+\varepsilon=M,$$

  即 $\{z_n\}$ 是有界的。

定義4.1-3. $\{z_n\}$ 為柯西數列(Cauchy sequence) 若且唯若 $\forall \varepsilon>0,~\exists N_\varepsilon$ 使得 $\forall n,~m\ge N_\varepsilon\implies |z_n-z_m|<\varepsilon$ 。

假設給定數列$\{z_n\}$是收斂到 $L$，即

因此

亦即 $\{z_n\}$ 是柯西數列，因此每一個收斂數列是柯西數列。反過來問，是否柯西數列也一定收斂？解答如下。

定理4.1-3. 若 $\{z_n\}$ 是柯西數列，則 $\{z_n\}$ 收斂。

[證明]

令 $\{ z_n \}=\{ x_n + i y_n\}=\{x_n\}+ i \{y_n\}$，因為 $\{z_n\}$ 是柯西數列，即

因此對同一個 $N_\varepsilon$，可知

因此 $\{x_n\}$ 與 $\{ y_n\}$ 也是柯西數列。由於實數柯西數列必收斂 (請同學自行查閱)，因此 $\exists u,~v\in\mathbb{R}$，使得 $\{x_n\}\to u$ 與 $\{y_n\}\to v$， 又由定理4.1-1知 $\{ z_n \}=\{x_n\}+ i \{y_n\}\to u+i v=L$，得證。$\hspace{10cm}\blacksquare$

同於實數數列，下列關係成立：

性質：令 $c,~L,~M\in\mathbb{C}$ ，設 $\lim\limits_{n\to \infty} a_n =L$ 與 $\lim\limits_{n\to \infty} b_n =M$ ，則有

$\lim\limits_{n\to \infty} a_n\pm b_n = \lim\limits_{n\to \infty} a_n \pm \lim\limits_{n\to \infty} b_n = L+M$ ，

$\lim\limits_{n\to \infty} c\cdot a_n =c \cdot \lim\limits_{n\to \infty} a_n = c\cdot L$，

$\lim\limits_{n\to \infty} a_n\cdot b_n = \lim\limits_{n\to \infty} a_n \cdot \lim\limits_{n\to \infty} b_n = L \cdot M$ ，

$\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{ \lim\limits_{n\to \infty} a_n} {\lim\limits_{n\to \infty} b_n} = \frac{L}{M} (M\neq 0)$ 。

習題

1. 試證明 $\{z_n\}\to 0$ 的充要條件為 $\{|z_n|\}\to 0$。

2. 試證明 $\{z_n\}\to \infty$ 的充要條件為 $\{|z_n|\}\to \infty$。