2.6 擴充複數平面 (The Expansion of the Complex Plane)

球極平面投影

無窮遠點 ∞\infty 不在複數平面上，加上無窮遠點的複數平面稱為擴充複數平面 (extended complex plane)，記作 C∞=C∪{∞}\cnums_\infty=\cnums \cup \text \{{\infty}\}(或是記為 C‾\overline{\mathbb{C}} 或 C^\hat{\mathbb{C}})。擴充複數平面 C∞\cnums_\infty 上的運算：

由於納入了∞\infty，對任意的 z∈Cz \in\mathbb{C}，增加以下的運算：

加法：z+∞=∞z+\infty=\infty；

乘法：z⋅∞=∞z\cdot\infty=\infty，∞⋅∞=∞\infty\cdot \infty=\infty；

除法：z/0=∞z/0=\infty，z/∞=0z/ \infty=0；

但 ∞−∞\infty-\infty；0⋅∞0\cdot\infty 視為沒有定義，此外雖然 ∞\infty 沒有乘法反元素，仍然採取 ∞/=∞\infty/=\infty 以及 0/∞=00/\infty=0 的運算。

事實上我們可以建立 C∞\cnums_\infty 的直觀幾何圖形。考慮一個半徑為 11 的球面 S2\mathbb{S}^2 ，方程式為：

x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1

其中點 (0,0,1)(0,0,1) 稱為北極 (North pole)，記作N\textit{N}，而南極(South pole)座標則為S(0,0,−1)S(0,0,-1)，令 xyxy-平面表示複數平面 C\cnums ， 從 S2\mathbb{S}^2 到 C\cnums 的投影圖示如：

圖2.6-1: 球極平面投影圖示 (球心在複數平面的原點)

對於 C\cnums 上之任一點 zz，與 NN 連接為直線只交 S2 \Bbb S^2 於一點；反之球面上任一點 PP，與 NN 連接的直線恰交 C\cnums 於一點，除 NN 之外我們可以在複數平面 C\cnums 及球面 S2\mathbb{S}^2 上的點作一個 1-11\text{-}1 對應，設這一個對應關係為 φ\varphi :

φ:C→S2∖{N}z=x+yi⟼P(α,β,γ)\begin{aligned} \varphi: &\cnums \rightarrow \mathbb{S}^2\setminus \{{N}\} \\ &z=x+yi \longmapsto P(\alpha,\beta,\gamma) \end{aligned}

設 PP 為除 NN 之外球面上任意一點。NP→\overrightarrow{NP} 與 C\cnums 交於 z=x+yiz=x+yi ，在空間對應於 (x,y,0)(x,y,0) 。由 NP→\overrightarrow{NP} 平行於 Nz→\overrightarrow{Nz} 得

[α:β:γ−1]//[x:y:−1][\alpha:\beta:\gamma-1]//[x:y:-1]

此處 即 [x:y:ζ][x:y:\zeta] 表示過原點與點 (x,y,ζ)(x,y,\zeta) 之直線在 RP2\mathbb{RP}^2的齊次座標，因此

αx=βy=γ−1−1=t\frac{\alpha}{x}=\frac{\beta}{y}=\frac{\gamma-1}{-1}=t
α=tx,β=ty,γ=1−t.\begin{equation} %\begin{aligned} & \alpha=t x, \quad %\\ & \beta=t y, \quad %& \gamma=1-t. %\end{aligned} \tag{2.6-1} \end{equation}

由 t=1−γt=1-\gamma 知

α=x (1−γ)β=y (1−γ)\begin{equation} \begin{aligned} \alpha=x~(1-\gamma) \\ \beta=y~(1-\gamma) \end{aligned} \tag{2.6-2} \end{equation}

代入 α2+β2+γ2=1\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1 得

1−γ2=(x2+y2)(1−γ)2=∣z∣2(1−γ)2  ⟹  ∣z∣2=1+γ1−γ\begin{align*} &1-\gamma^2=(x^2+y^2)(1-\gamma)^2=|z|^2(1-\gamma)^2 \\ & \implies |z|^2 =\frac{1+\gamma}{1-\gamma} \end{align*}

P≠NP\ne N，γ≠1\gamma \ne1，所以

γ=∣z∣2−1∣z∣2+1,\gamma=\frac{\left|z\right|^2-1}{\left|z\right|^2+1}, %\quad %t=1-\gamma=\frac{2}{\left|z\right|^2+1}.

代入式 (2.6-2)(2.6\text{-}2) 可得到 PP 點的座標 (α,β,γ)(\alpha,\beta,\gamma)：

α=2x1+∣z∣2,β=2y1+∣z∣2,γ=∣z∣2−11+∣z∣2.\begin{equation} %\begin{aligned} \alpha=\frac{2x}{1+\left|z\right|^2}, \quad%\\ \beta=\frac{2y}{1+\left|z\right|^2},\quad %\\ \gamma=\frac{\left|z\right|^2-1}{1+\left|z\right|^2}. %\end{aligned} \tag{2.6-3} \end{equation}

反之，由 PP 的座標可以反求 zz 的座標如下：

z=x+yi=α1−γ+β1−γi\begin{equation} z=x+yi=\frac{\alpha}{1-\gamma}+\frac{\beta}{1-\gamma}i \tag{2.6-4} \end{equation}

由式 (2.6-3)(2.6\text{-}3) 及式 (2.6-4)(2.6\text{-}4) 知當 ∣z∣→∞\left|z\right|\rightarrow\infty ， P→NP\rightarrow N ，因此很自然在複數平面 C\cnums 引進一個理想點 ∞\infty 相對於 S2\mathbb{S}^2 的北極點 NN，從此擴充 C\mathbb{C} 到 C∞\cnums_\infty 上

φ:C∞⟶S∞⟼Nz⟼P\begin{aligned} \varphi:\mathbb{C}_\infty&\longrightarrow\Bbb S \\ \infty&\longmapsto N \\ z&\longmapsto P \end{aligned}

這一個對應稱之為球極平面投影 (Stereographic Projection)， S2\mathbb{S}^2 稱為黎曼球面 (Riemann sphere)，對於無窮遠點 ∞\infty 其長度為 ∞\infty，幅角沒有定義，在複數平面上任意一直線均通過 ∞\infty 點。

例題2.6-1. 設 d(z1,z2)d(z_1,z_2) 表示與 z1,z2z_1,z_2 相對應的 P1(≠N), P2(≠N)P_1(\neq N),~P_2(\neq N) 之間的距離，證明

d(z1,z2)=2∣z1−z2∣1+∣z1∣2+1+∣z2∣2\begin{equation*} d(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}+\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}} %\tag{1.6-5} \end{equation*}

若其中一點為 P2=N=(0,0,1)P_2=N=(0,0,1) ，則有

∣P1P2‾∣2=(2a11+∣z1∣2−0)2+(2b11+∣z1∣2−0)2+(∣z1∣2−11+∣z1∣2−1)2=(2∣z1∣21+∣z1∣2)2\begin{aligned} |\overline{P_1 P_2}|^2=&\left(\frac{2a_1}{1+\left|z_1\right|^2}-0\right)^2+\left(\frac{2b_1}{1+\left|z_1\right|^2}-0\right)^2+\left(\frac{\left|z_1\right|^2-1}{1+\left|z_1\right|^2}-1\right)^2 \\ &= \left(2\frac{|z_1|^2}{1+\left|z_1\right|^2}\right)^2 \end{aligned}

亦即 d(z1,∞)=21+∣z1∣2d(z_1,\infty)=\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}} ，使這一個距離可以測量 zz 到無窮這點之距離。如此可以定義弦距離 (chordal distance)如式 (2.6-5)(2.6\text{-}5) 所示：

{d(z1,z2)=2∣z1−z2∣1+∣z1∣2+1+∣z2∣2d(z1,∞)=21+∣z1∣2\begin{equation} \left\{\begin{aligned} d(z_1,z_2)&=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}+\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}} \\ d(z_1,\infty)&=\frac{2}{\sqrt{1+|z_1|^2}} \end{aligned}\right. \tag{2.6-5} \end{equation}

同時會滿足距離公理：

d(z1,z2)≥0,d(z1,z2)=0  ⟺  z1=z2,d(z1,z2)=d(z2,z1),d(z1,z2)≤d(z1,z3)+d(z3,z2).\begin{aligned} &d(z_1,z_2)\ge0,\qquad\qquad d(z_1,z_2)=0\iff z_1=z_2, \\ &d(z_1,z_2)=d(z_2,z_1), \\ &d(z_1,z_2)\le d(z_1,z_3)+d(z_3,z_2). \end{aligned}

例題2.6-2. 設球極平面投影也可以將複數平面放在黎曼球的最底部，通過南極S(0,0,0)S(0,0,0)，而非一定要如本節在圖2.6-1所示一樣，一定要通過球心的平面。這種布置方式，北極的座標仍然是N(0,0,1)N(0,0,1)，球的上半部區域會對應到複數平面上的單位圓內，而將球的下半部區域對應帶單位圓外的複數平面區域。以下透過 Geogebra 實驗看看，請移動複數平面上的點，觀察在3D圖上黎曼球上的點變化。

Geogebra 1: 另一種球極平面投影圖示

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習題
  1. 如圖2.6-1所顯示平面投影時，推導複數平面上的點 z=(a,b)z=(a,b) 對應到球面的點 Q(ξ,η,ζ)Q(\xi,\eta,\zeta)之對應公式。
  1. 如圖2.5-2所顯示平面投影時，推導複數平面上的點 z=(x,y)z=(x,y) 對應到球面的點P(α,β,γ)P(\alpha,\beta,\gamma)之對應公式如下(即如對應到圖2.6-1的式(2.6-3)(2.6\text{-}3)的公式)：
α=x1+∣z∣2,β=y1+∣z∣2,γ=∣z∣21+∣z∣2.\alpha=\frac{x}{1+\left|z\right|^2}, \quad \beta=\frac{y}{1+\left|z\right|^2},\quad \gamma=\frac{\left|z\right|^2}{1+\left|z\right|^2}.
  1. 續上題，找出下列複數平面上的所對應到黎曼球的點 P(α,β,γ)P(\alpha,\beta,\gamma)之座標，並透過Geogebra 1驗證：
    1. z(−1,1)z(-1,1)
    1. z(2,−3)z(2,-3)
    1. z(1/2,1/2)z(1/2,1/2)
    1. z(−5,−5)z(-5,-5)