2.5 互反變換 (Reciprocal transformation) $w=1/z$

基本性質

本節討論下列稱為互反變換 (reciprocal transform) 的函數：

此函數為1-1，又若 $z=r e^{i\theta}$、$w=\rho e^{i\phi}$，則有 $\rho=1/r, \phi=-\theta$，下圖為直觀的函數呈現：

圖2.5-1: 互反變換

觀察此圖可得：

• 當 $r>1$ 時 (圓外的點) 對應到圓內的點 $\rho=\frac1r<1$，

• 順時針繞($\theta \nearrow$)變成逆時針繞($\phi=-\theta \searrow$)。

例題2.5-1. 計算區域 $A=\left\{ z ~|~ \text{Re~}(z)\ge \frac12\right\}$ 在映射 $w=f(z)=\frac1z$ 作用下之值域。

• [解]

  設 $w=u+iv$ ，則有

  $$\begin{align*} w\in f(A)&\iff z=f^{-1}(w)=\frac{1}{w}=\frac{u-iv}{u^2+v^2}\in A \\ &\implies \text{Re~}(z) = \frac{u}{u^2+v^2}\ge \frac12 \\ &\implies u^2+v^2-2u\le 0 \\ &\implies (u-1)^2+v^2\le 1 \end{align*}$$

  因此 $f(A)=\overline{D}_1(1)$。若將集合 $A$ 中條件的 $\frac12$ 改成 $1$ 則會得到，$f(A)=\overline{D}_\frac12(\frac12)$。兩者圖形如下所是：

  

  若考慮值域的原點 $(u,v)=(0,0)$ 的點，在 $z$-平面(集合 $A$)中並無預像，亦即不存點 ，使得 $f(z)=(0,0)$，其實$w$-平面上的原點為 $\lim\limits_{y\to \pm\infty} (\frac12,y)$ 之鏡像。

例題2.5-2. 計算例題2.5-1所設定的區域 $A$ 和 $\overline{D}_1(\frac12)$的交集，經過互反變換之鏡像。

• [解]

  由於

  $$\left| z-\frac12 \right| = \left|x+iy-\frac12\right|\implies \left(x-\frac12\right)^2+y^2\le1\implies x^2+y^2-x\le \frac34$$

  因此 $\overline{D}_1(\frac12)=\left\{(x,y) ~| ~ x^2+y^2-x\le \frac34\right\}$。此外由例題2.5-1的結果知 $f(A)=\overline{D}_1(1)$，因此題意所求的鏡像為 $f\left(\overline{D}_1(\frac12)\right)\cap \overline{D}_1(1)$。先計算集合$f\left(\overline{D}_1(\frac12)\right)$：

  $$\begin{align*} w\in f\left(\overline{D}_1\left(\frac12\right)\right) & \Longleftrightarrow f^{-1}(w)\in\overline{D}_1\left(\frac12\right) \Longleftrightarrow \frac1{w}\in\overline{D}_1\left(\frac12\right) \\ & \Longleftrightarrow \frac{u-iv}{u^2+v^2}\in\overline{D}_1\left(\frac12\right) \\ & \Longleftrightarrow \left( \frac{u}{u^2+v^2}\right)^2+\left( \frac{-v}{u^2+v^2}\right)^2- \frac{u}{u^2+v^2}\le \frac34 \\ & \Longleftrightarrow \frac{1}{u^2+v^2}-\frac{u}{u^2+v^2}\le \frac34 \\ & \Longleftrightarrow u^2+v^2 \ge \frac43(1-u) \\ & \Longleftrightarrow \left(u+\frac23\right)^2+v^2\ge \frac{16}{9}=\left(\frac43\right)^2 \end{align*}$$

  亦即集合$f\left(\overline{D}_1(\frac12)\right)$表值域為包含圓 $C_\frac43(-\frac23)$ 在內的圓外之區域，換句話說，所求的 $f\left(\overline{D}_1(\frac12)\right)\cap f(A)$ 是包含圓 $C_\frac43(-\frac23)$ 在內的圓外落在區域 $\overline{D}_1(\frac12)$的的點所成集合，圖示如下：
  
  

  

接著討論廣義圓 (generalized circles) 在 $w=\frac1z$ 作用後之鏡像，即討論$z$-平面上的廣義圓：

之鏡像。以極座標來呈現，令 $w=u+iv=\rho e^{i\phi}$，由反函數關係知

因而則有

亦即

等價於

式(2.5-2)代表的是$w$-平面上直線($D=0$)或廣義圓($D\neq 0$)。換句或說，

從式(2.5-2)可歸納出：

• 通過$z$-原點的直線(即$A=D=0$)，經互反變換後成為通過$w$-平面原點的直線；

• 未通過$z$-原點的直線(即$A=0$)，則變換成通過$w$-平面原點的圓；

• 通過$z$-原點的圓(即$D=0$)，變換成沒通過$w$-平面原點的直線。

• 一般未通過$z$-原點的圓(即$A\neq 0,~D\neq 0$)，變換成沒通過$w$-平面原點的圓。

例題2.5-3. 求垂直線 $x=a$ 與水平線 $y=b$ 在 $w=\frac1z$ 作用後之鏡像。

• [解]

  由 $w=1/z$ 可知

  $$x=\frac{u}{u^2+v^2}, \quad y=\frac{-v}{u^2+v^2},$$

  垂直線

  $$\begin{array}{lll} x-a=0&\Rightarrow & (2.5\text{-}1) ~\Rightarrow~(2.5\text{-}2)\\ &\Rightarrow& u-a(u^2+v^2)=0\\ (1)~a\neq 0 &\Rightarrow& u^2+v^2-\frac{1}{a}u=0 \\ &\Rightarrow& \left(u-\frac1{2a}\right)^2+v^2=\left(\frac{1}{2a}\right)^2 \\ (2)~a=0&\Rightarrow& x=0~ (y\textrm{軸})\\ &\Rightarrow & u=0~ (v\textrm{軸}) \end{array}$$

  水平線

  $$\begin{array}{lll} y-b=0 & \Rightarrow &(2.5\text{-}1)~\Rightarrow~ (2.5\text{-}2) \\ &\Rightarrow& v+b(u^2+v^2)=0\\ (1)~ b\neq 0 &\Rightarrow& u^2+v^2+\frac{1}{b}v=0 \\ &\Rightarrow& u^2+\left(v+\frac1{2b}\right)^2=\left(\frac{1}{2b}\right)^2 \\ (2)~b=0&\Rightarrow& y=0~ (x\textrm{軸})\\ &\Rightarrow & v=0~ (u\textrm{軸}) \end{array}$$

  亦即 $w=\frac1z$ 將非座標軸的垂直線 $x=a$ 與水平線 $y=b$ 分別映射到圓心在 $u$ 軸與$v$軸的圓上，圖示如下：

  

圖形展示

卡氏座標下對方格的圖形經互反變換所得鏡像，由Geogebra的展示：

Geogebra 1: 給定集合經互反變換所得鏡像

Geogebra 2: 方格的圖形經互反變換所得鏡像

極座標下集合經互反變換所得鏡像，由Geogebra的展示：

Geogebra 3: 集合經互反變換所得鏡像

擴充複數平面

試問互反變換 $w= \frac1z$ 的幾何意義為何？透過這個函數，可進一步拓展複數平面，加入理想點(ideal point) 表示成 $\infty$ (即 $r=\infty$)，形成擴充的複數平面 $C_\infty$。明顯地理想點的性質成立：$\lim\limits_{z\to \infty} z =\infty$ 的充要條件是 $\lim\limits_{z\to \infty}|z|=\infty$，即理想點 代表了所有 $r=\infty$ 的點。

在理想點 $\infty$ 的鄰域定義為 $D_\varepsilon(\infty)=\{z: |z|>\frac1\varepsilon\}=\{z: \left|\frac{1}{z}-0\right|<\varepsilon\}$， 因此討論 $\lim\limits_{z\to \infty}f(z)$ 等價於討論 $\lim\limits_{\frac1{|z|}\to 0} f(z)$。

了解理想點的最好方式是透過由黎曼提出的球極投影變換 (stereographic projection)。設 $\mathbb{S}^2$ 表示直徑為 $1$ 的黎曼球(Riemann sphere)，將球心放置在三度空間內的 $(0,0,\frac12)$ 處，並以 $P=(\alpha,\beta,\gamma)$ 來代表三度空間點的座標，而此點對應到複數平面上的點 $z=x+iy$ 之三度空間座標表示法則為 $z=(x, y, 0)$。令 $N=(0,0,1)$ 表示 $\mathbb{S}^2$ 上的北極，以及 $S=(0,0,0)$ 為 $\mathbb{S}^2$ 上的南極。圖形如下：

圖2.5-2: 球極平面投影圖示(球的南極在複數平面的原點)

複數平面上的點 $z=x+iy$ 如何對應到球 $\mathbb{S}^2$ 上的點？將 $N$ 和 $z$ 的連線稱為 $L$，則 $L$ 和 $\mathbb{S}$ 的唯一交點即為所求。參考下圖：

圖2.5-3: 黎曼球和複數平面間的投影關係

可知複數平面上的單位圓上的點，即 $x^2+y^2=1$ 在 $\mathbb{S}$ 上的座標為 $(\frac{x}2,\frac{y}2,\frac12)$，而複數平面上單位圓外的點會對應到 $\mathbb{S}$ 的上半球 $P=(\alpha,\beta,\gamma),~ \gamma>1/2$，且複數平面上單位圓內的點會對應到 $\mathbb{S}$ 的下半球 $P=(\alpha,\beta,\gamma), \gamma<1/2$。如此一來，可以定義球極投影變換為

將複數平面上的原點對應到 $\mathbb{S}$ 的南極 $S=(0,0,0)$；剩餘的是哪個點是對應到 $\mathbb{S}$ 的北極$N=(0,0,1)$？從圖2.5-2與2.5-3來看，應該是 $|z|\to\infty$ 對應到 $P\to N$，換句話說，$\varphi(\text{理想點})=(0,0,1)=N$。

因此互反變換可以擴大定義成：

有關球極平面投影將黎曼球變換到擴充複數平面的座標關係，請參閱§2.6。