2.4 函數的分支 (Branches of Functions)

當 $w=f(z)$ 是一個多值函數時， $f$ 的一個分支 (branch) ，便是由 $f$ 定義在某區域內所得的單值函數 $f_0$ ，即在此區域內的 $z$ 點對應到值域中 $f(z)$ 的一個值；亦即設 $D_f \subseteq \mathbb{C}$ ，

\begin{align*} f_0: D_f\subseteq D &\to \mathbb{C} \\ z&\mapsto w=f_0(z)= f(z) \text{~之一個值} \end{align*}

例題2.4-1. $f(z)=z^{\frac12}, z\neq 0$ ，定義 $D_f = \mathbb{C}\setminus \{0\}$ 且

f_1(z) = |z|^\frac12 e^{i\frac{\text{Arg~}z}{2}} = r^\frac12 e^{i\frac{\theta}{2}}=\rho e^{i\phi}=\rho \cos\phi+i \rho \sin\phi,\quad -\frac{\pi}{2}<\phi\le \frac{\pi}{2},

其中 $z=r e^{i\theta}, -\pi<\theta\le \pi$ 與 $\rho = r^\frac12, \phi=\frac{\mathrm{Arg}~z}{2}$ ，此 $f_1$ 稱為主平方根函數(principal square root function)。另外定義

f_2(z) = |z|^\frac12 e^{i\frac{\text{Arg~}z+ 2\pi}{2}} = r^\frac12 e^{i\left(\frac{\theta}{2}+\pi\right)}=\rho e^{i\phi}=\rho \cos\phi+i \rho \sin\phi,\quad \frac{\pi}{2}<\phi\le \frac{3\pi}{2},

其中 $\phi=\frac{\mathrm{Arg}~z}{2}+ \pi$ ，此 $f_2$ 稱為平方根函數(square root function)。當然是需要，可以將此 $\phi$ 利用同位角的關係可改成表示為

\frac{\pi}{2}<\phi\le \frac{3\pi}{2} \implies -\pi<\phi\le -\frac{\pi}{2},~~ \frac{\pi}{2}<\phi\le \pi.

此處函數 $f_1(z)$ 及 $f_2(z)$ 稱為 f(z) 之分支，又 $r\ge 0, \theta=-\pi$ 所代表的負 $x$ 軸 (含原點) 稱為分支 $f_1(z)$ 及 $f_2(z)$ 之分支切割 (branch cut)，這上面的點為 $f_1(z)$ 及 $f_2(z)$ 的不連續點。說明圖形如下：

為何 $r\ge 0, \theta=-\pi$ 所代表的負 $x$ 軸上的點為 $f_1(z)$ 的不連續點？設 $z_0\neq 0$ 落在負 $x$ 軸上，則存在 $r_0>0$ 使得 $z_0 = r_0 e^{i\pi}$ ，此時

\lim_{(r,\theta)\to(r_0,\pi)}f_1(r,\theta)=i r_0^\frac12,\quad \lim_{(r,\theta)\to(r_0,-\pi)}f_1(r,\theta)=-i r_0^\frac12,\quad

亦即 $f_1(z)$ 負 $x$ 軸上的點為不連續，同理 $f_2(z)$ 相同。

兩個分支函數 $f_1(z)$ 及 $f_2(z)$ 的圖像說明如下，

圖2.4-1: 分支函數 $f_1(z)=u(x,y)+ i v(x,y)$ 之鏡像

圖2.4-2: 分支函數 $f_2(z)=u(x,y)+ i v(x,y)$ 之鏡像

試問分支切割是否一定要在負x-軸嗎？不一定。如想設在 $\theta=\alpha$ 的射線 ( $r>0$ ) 上也可，則修改 $f$ 之分支函數定義如下：

\begin{align*} &f_{\alpha_1}(z) = |z|^\frac12 e^{i\frac{\text{Arg~}z+\pi+\alpha}{2}} = r^\frac12 e^{i\frac{\theta}{2}}, &\alpha<\theta\le \alpha +2\pi, \\ &f_{\alpha_2}(z) = |z|^\frac12 e^{i\frac{\text{Arg~}z+3\pi+\alpha}{2}} = r^\frac12 e^{i\left(\frac{\theta}{2}+\pi\right)}=-f_{\alpha_1}(z), & \alpha<\theta\le \alpha +2\pi. \end{align*}

如此一來，分支函數 $f_{\alpha_1}$ 與 $f_{\alpha_2}$ 之分支切割即是 $\theta=\alpha$ 的射線 ( $r>0$ )。

討論到此，我們不禁會詢問是否有沒有方式來讓兩個分支函數 $f_1$ 與 $f_2$ 在分支切割上是連續的，意思是讓 $f(z)=z^\frac12$ 變成連續函數？解決方法是透過黎曼曲面(Riemann surface)。

讓 $f(z)=z^\frac12$ 變成連續函數，則是要將兩個函數 $f_1$ 與 $f_2$ 聯合起來，顯然一片定義域一定無法將值域 $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ ，可否搭接兩片定義域？兩片定義域分別稱為 $D_1$ 與 $D_2$ ：

D_1=\{(r_1,\theta_1):r_1>0, -\pi<\theta_1\le \pi\}=\text{domain of }f_1,\quad H_1=\mathbb{C}\setminus\{0\}=\text{range of }f_1 \\ D_2=\{(r_2,\theta_2):r_2>0, -\pi<\theta_2\le \pi\}=\text{domain of }f_2,\quad H_2=\mathbb{C}\setminus\{0\}=\text{range of }f_2,

將 $\theta_1=\pi$ 黏貼接到 $\theta_2=-\pi$ ，再將 $\theta_2=\pi$ 黏貼接回到 $\theta_1=-\pi$ ，形成新的空間，稱為黎曼曲面，作為函數 $f$ 之定義域。因此

定義2.4-1. (黎曼曲面)

黎曼曲面 $R$ 為將 $D_1$ 放在 $D_2$ 上面，並將 $\theta_1=\pi$ 與 $\theta_2=-\pi$ ，以及 $\theta_2=\pi$ 與 $\theta_1=-\pi$ 相膠合， $H=H_1\cup H_2$ ，因此

\begin{align*} f:R&\to H \\ z &\mapsto w=f(z)=f^\frac12 \end{align*}

為 $\mathbb{R}$ 上之連續函數。

需注意定義2.4-1中， $z=0 \not\in R$ ，因此將此點納入函數 $f$ 之定義域，則有 $f(0)=0$ ，即在此點上 $f$ 為單值函數。此間關係，如下圖所示：

圖2.4-3: 黎曼曲面的構成

透過Geogebra展示，更能看到黎曼曲面的建構：

Geogebra 1: 平方根函數之黎曼曲面

https://www.geogebra.org/material/iframe/id/gcpr8zvt/width/916/height/649/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false

有興趣的同學，可以參考影片：

Youtube 1: 透過domain coloring 來呈現 $f(z)=z^\frac12$ 之黎曼曲面。
https://www.youtube.com/watch?v=mIOvmCyT4DQ&ab_channel=sevisvideos

Youtube 2:動手作一個黎曼曲面。
https://www.youtube.com/watch?v=4MmSZrAlqKc&ab_channel=WelchLabs

習題

Find the following limits.
(c) $\lim_{z \to i} \frac{z^4-1}{z-i}$ .
(d) $\lim_{z \to 1+i} \frac{z^2+z-2+i}{z^2-2z+1}$ .
(e) $\lim_{z \to 1+i} \frac{z^2+z-1-3i}{z^2-2z+2}$ by factoring.

Determine where the following functions are continuous.
(d) $\frac{z^4+1}{z^2+2z+2}$ .
(e) $\frac{x+iy}{x-1}$ .
(f) $\frac{x+iy}{|z|-1}$ .

6. Let $f(z)=\frac{z\text{Re}(z)}{|z|}$ when $z \neq 0$ , and let $f(0)=0$ . Show that $f(z)$ is continuous for all values of $z$ .

Let $f(z)=\frac{z^2}{|z|^2}=\frac{x^2-y^2+i2xy}{x^2+y^2}$ .
(a) Find $\lim_{z \to 0} f(z)$ as $z \to 0$ along the line $y=x$ .
(b) Find $\lim_{z \to 0} f(z)$ as $z \to 0$ along the line $y=2x$ .
(c) Find $\lim_{z \to 0} f(z)$ as $z \to 0$ along the parabola $y=x^2$ .
(d) What can you conclude about the limit of $f(z)$ as $z \to 0$ ? Why?

10. Does $\lim_{z \to -4} \text{Arg}\space z$ exist? Why? Hint: Use polar coordinates and let $z$ approach $-4$ from the upper and lower half-planes.

Let $f(z)=\frac{\text{Re}(z)}{|z|}$ when $z \neq 0$ , and let $f(0)=1$ . Is $f(z)$ continuous at the origin?

Riemann 曲面的深入探討

Riemann 曲面是複變函數論中的一個重要概念，由德國數學家 Bernhard Riemann 在 19 世紀中葉引入。它提供了一種優雅的方法來處理多值函數，使這些函數能夠在一個更大的空間中被視為單值函數。以下我們將詳細探討 Riemann 曲面的概念、構造和應用。

1. Riemann 曲面的定義

Riemann 曲面可以被定義為一個複雜的拓撲空間，它局部看起來像複平面，但整體結構可能更為複雜。形式上，我們可以這樣定義：

\text{一個 Riemann 曲面 } \mathcal{R} \text{ 是一個連通的 Hausdorff 空間，}\\ \text{它具有一個複解析結構，即存在一個開覆蓋 } \{U_\alpha\} \text{ 和同胚映射}\\ \varphi_\alpha : U_\alpha \to \mathbb{C},\\ \text{使得對於任意 } \alpha, \beta \text{ 滿足 } U_\alpha \cap U_\beta \neq \emptyset,\\ \text{複合映射 } \varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{-1} \text{ 在 } \varphi_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \text{ 上是全純的。}

2. Riemann 曲面的構造

以平方根函數 $f(z) = \sqrt{z}$ 為例，我們可以構造一個 Riemann 曲面來使這個多值函數變為單值函數：

準備兩張複平面 $S_1$ 和 $S_2$ ，分別對應函數的兩個分支。

在每張平面上沿著負實軸做一個切口。

將 $S_1$ 的上唇連接到 $S_2$ 的下唇， $S_2$ 的上唇連接到 $S_1$ 的下唇。

結果得到一個螺旋狀的雙層曲面，這就是 $\sqrt{z}$ 的 Riemann 曲面。

數學上，我們可以將這個過程表示為：

\mathcal{R} = (S_1 \sqcup S_2) / \sim,\\ \text{其中 } \sim \text{ 是一個等價關係，定義為：}\\ (z, 1) \sim (z, 2) \text{ 當且僅當 } z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_{\leq 0}

3. Riemann 曲面的應用

Riemann 曲面在複變函數論中有廣泛的應用，包括但不限於：

• 使多值函數變為單值函數，如 $\log z$ 、 $\sqrt[n]{z}$ 等。

• 研究代數函數，如 $w^n = z^m$ 定義的函數。

• 分析複積分的路徑獨立性。

• 研究橢圓函數和模函數。

通過 Riemann 曲面，我們可以更深入地理解複變函數的性質，並解決許多在傳統複平面上難以處理的問題。

結語

Riemann 曲面是複變函數論中一個強大而優雅的工具，它不僅解決了多值函數的問題，還為我們提供了一個新的視角來理解複變函數的本質。通過將複平面擴展到更高維的結構，Riemann 曲面為複分析開闢了新的研究方向，並與代數幾何、拓撲學等數學分支建立了深刻的聯繫。