2.2 $w=z^n$與$w=z^{\frac1{n}}$之映射 (Mappings)

冪次函數

假設 $z=r e^{i\theta}\neq 0$，先討論最簡易的冪次函數 $w=f(z)=z^2$ 。此函數之極式表示法為

當 $w$-平面亦採極式表示 $w=\rho e^{i\phi}$，則亦上述的平方映射可以由下列連立方程是來代表

因此是複數函數 $w=f(z)=z^2$ 將 $z$-平面上通過原點角度為 $\theta$ 之幅射線對應到 $w$-平面之幅射線，唯角度變為 $2\theta$。如此一來，當 $\theta$ 從$-\pi/2$ 變到 $\pi/2$ 時， $\phi$ 已經是從 $-\pi$ 到 $\pi$，亦充滿了整個w-平面。因此不是 $f(z)$ 不是1對1了，此外，注意 $f(1)=1$ 以及 $f(-1)=1$，故此函數為多對一函數，無法從 $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 上定義反函數。

Geogebra 1: 觀察平方函數映射情形。以下的 Geogebra 可以讓我們嘗試去瞭解平方函數的映射情形。

選擇

則 $f:A\to B:z\mapsto w=f(z)=z^2$ 為1-1且映成，因此其反函數存在，定義如下

想進一步了解A上的直線經過平方函數映射的圖形，可以令 $z=x+iy$ 與 $w=u+iv$ 代入 $w=z^{1/2}$ 式可得

因此當 $x=a\neq 0$ 時， $u^2-v^2=a$ 為雙曲線，而 $x=0$ 對到 $v=u$ 的線；同樣地， $y=b\neq 0$ 時， 其映射是 $u v = b/2$ 亦是雙曲線，而 $y=0$ 對到 $u=0$ (對應到 $b>0$) 或 $v=0$ (對應到 $b<0$) 的線。

圖2.2-1: 觀察平方根函數之映射情形。

Geogebra 2: 方形區域經平方根函數 $w=f(z)=z^{1/2}$ 映射後之鏡像

例題2.2-1. 求集合 $\{(x,y)~|~0< x< a,~ 0< y< b\}$ 經函數 $f(z)=z^2$ 映射後之鏡像。

• [解]

  從 $u=x^2-y^2,~v=2xy$，分別考量以下情形：

  • $x=a>0$，由 $y=\frac{v}{2a}$，得 $u=a^2-\frac1{4a^2} v^2$，其中 $0<v<2ab$ (由 $0<y<b$ 而得 )，為拋物線段。

  • $x=0$，知 $v=0$ 且 $u=-y^2$，因此 $-b^2< u\le 0$，因此 $(u,v)$ 為負實軸上的線段。

  • $y=b>0$，由 $x=\frac{v}{2b}$，得 $u=\frac1{4b^2} v^2-b^2$，其中 $0<v<2ab$ ，為拋物線段。

  • $y=0$，知 $v=0$ 且 $u=x^2$，因此 $0<u<a^2$，$(u,v)$ 為正實軸上的線段。

  Geogebra 3: 觀察集合 $\square ABCD$ 經 $f(z)=z^2$ 映射後之變化情形，圖形如下：

  https://www.geogebra.org/classic/dtykunzz?embed

進一步討論一般的 $n\in\mathbb{N}$ 之情形，函數 $\mathbb{C}\to\mathbb{C}:z\mapsto w=z^n$ 為 $n$ 對 $1$ 的函數。定義

則冪次函數

為1-1且映成，其反函數定義為

其中 $g(z)=|z|^{\frac{1}{n}} e^{i\frac{1}{n}\text{Arg~}z}, z\neq 0$ 稱為主 $n$ 次方根函數 (principal $n$-th root function)。

圖2.2-2: 觀察 $n$ 次方函數及其反函數之映射情形。