2.1 函數與線性映射 (Functions and Linear Mappings)

複數函數

複數函數 $f$ 是複變數 $z$ 的函數，函數值 $f(z)=w$ 亦是複數，所有變數 $z$ 所成之集合稱為 $f$ 的定義域 (domain) $D_f$ 。對 $D_f$ 的每一個點 $z$ ，對應唯一之複數 $w$ ，此種函數 $f$ 稱為單值函數 (single-valued function)，或簡稱函數。然而當對 $D_f$ 中某些點對應多個複數 $w$ ，此種函數 $f$ 稱為多值函數 (multiple-valued function)。對於 $z\in D_f$ 所有點 $f(z)$ 所成之集合稱為值域 (range) $R_f$ 。

\begin{align*} f:~D_f\subset \mathbb{C}&\to R_f\subset \mathbb{C} \\ z&\mapsto f(z) \end{align*}

函數關係如下圖所示：

圖2.1-1: 函數 $w=f(z)$ 之映射關係

例題2.1-1. 試問下列哪些是定義在整個複數平面 $\mathbb{C}$ 之函數？

(1) $f_1(z)=\text{Arg}(z)$ ， (2) $f_2(z)=\text{Re}(z)$ ， (3) $f_3(z)=\text{Im}(z)$ ， (4) $f_4(z) = \ln|z|+i \text{Arg}(z)$ 。

[解]
$f_2$ , $f_3$ 為定義在 $\mathbb{C}$ 之函數；因 $\text{Arg}(z)$ 在原點無法定義，故 $f_1$ 與 $f_4$ 為並非定義在 $\mathbb{C}$ 之函數。

例題2.1-2. $f_1(z)=\arg z,~f_2(z)=\text{Arg}~z, ~f_3(z)=z^{\frac{1}{2}}$ ，何者為單值？何者為多值？

[解]
$f_1$ 為一對無限的對應為多值函數，而 $f_2$ 為單值， $f_3$ 為一對二之多值函數。如
$f_1(1+\sqrt 3 i)=\{\frac{\pi}{3}+2n\pi~|~n\in\Z\},~f_2(1+\sqrt 3 i)=\frac{\pi}{3},~f_3(-1)=\{i,-i\}$ 。

定義2.1-1. 若 $z_1 \neq z_2 \implies f(z_1)\neq f(z_2)$ ，則稱 $f$ 為一對一(1-1, one-to-one)或單射(injective) 函數。

定義2.1-2. $f$ 在 $w\in \mathbb{C}$ 之預像 (preimage, inverse image) 定義為 $f^{-1}(\{w\})=\{z\in D_f ~| ~ f(z)=w \}$ 。又 $f$ 在集合 $H\subset \mathbb{C}$ 之預像為 $f^{-1}(H)=\{z\in D_f ~| ~ f(z)\in H \}$ 。

例題2.1-3. 求 $f_1(z)=i~z$ ， $f_2(z)=z^2$ ， $f_3(z)=e^z$ 在 $w=-1$ 之預像。

[解]
$f_1^{-1}(\{-1\})=i$ ，
$f_2^{-1}(\{-1\})=\{i,~-i\}$ ，
$f_3^{-1}(\{-1\})=\{i (\pi +2 n \pi)~| ~ n\in\mathbb{N}\}$ 。

如果 $w=f(z)$ 是 $A\subset D_f$ 上的單射函數，即對於不同的 $z\in A$ ，有不同的 $w\in R_f$ ，將這些 $w$ 形成 $B\subset R_f$ ，則這樣的函數 $f$ 不但是 $A$ 集合上的1-1函數，而且映成(onto)到 $B$ 集合。在這種情況下，我們可以定義另一個函數 $z=g (w)$ ，把 $B$ 集合上之每一個 $w$ 對應回到 $A$ 集合上的點 $z$ ，這 $z$ 正是在 $f$ 作用下所對應的 $w$ 值，即

\begin{aligned} g:~B\subset R_f&\to A\subset D_f \\ w&\mapsto g (w)=z \end{aligned}

其中

f(z)=w.

此 $g$ 稱為 $w=f(z)$ 之反函數，記作 $z= g (w)= f^{-1}(w)$ 。下列關係成立：

\begin{align*} &g(f(z))=g(w)=z,\quad \forall z\in A,\\ &f(g(w))=f(z)=w,\quad \forall w\in B. \end{align*}

例題2.1-4. 令 $\displaystyle w=f(z)=\frac{A z+B}{C z+D}$ ，則反函數 $f{}^{-1}(w)$ 存在之充分必要條件為 $A D-B C\ne 0$ ，其反函數由上面之方程式解出 $z$ 而得，即

z=f{}^{-1}(w)=\frac{D w-B}{-C w+A}.

我們進一步來探討複變函數的幾何性質。 $w=f(z)$ 將定義域中之每一點 $z=x+iy$ 經由函數 $f$ 對應到唯一值 $w=u+iv$ ，明顯地 $u$ 及 $v$ 均為 $x,y$ 的函數，亦即

w=f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)

是由 $z$ -平面到 $w$ -平面的一種變換的關係，如圖2.1-1。我們無法如同以往在實數系內畫出函數的圖形 $(z,f(z))$ ，因為這張圖是落在四度空間，所以只能透過描出點 $z=x+iy$ 與對應 $w=u(x,y)+iv(x,y)$ 的點位置的變換而已。當然若採用 $z=re^{i\theta}$ ，則可得

w=f(r,\theta)=u(r,\theta)+iv(r,\theta)

為極式的表示法。同樣地，我們也可以將 w 採用極式 $w=\rho e^{i\phi}$ 來表示，如此一來，就有

w=f(x,y)=\rho(x,y) e^{i \phi(x,y)}

以及

w=f(r,\theta)=\rho (r,\theta) e^{i\phi(r,\theta)}

的表示式。卡氏座標與極座標所對應出的四種表示法，歸納如下表：

$w=f(z)$	$w=u+iv$	$w=\rho e^{i\phi}$
$z=x+i y$	$\begin{aligned} u &= u(x, y) \\ v &= v(x, y) \end{aligned}$	$\begin{aligned} \rho &= \rho(x, y) \\ \phi &= \phi(x, y) \end{aligned}$
$z= r e^{i\theta}$	$\begin{aligned} u &= u(r, \theta) \\ v &= v(t, \theta) \end{aligned}$	$\begin{aligned} \rho &= \rho(r, \theta) \\ \phi &= \phi(t, \theta) \end{aligned}$

例題2.1-5. 設 $w=f(z)=z^2$ 寫成 $w=u(x,y)+iv(x,y)$ 與 $w=\rho(x,y) e^{i\phi(x,y)}$ 的形式。

[解]
令 $z=x+iy$ ，則 $f(z)=f(x+iy)=(x+iy)^2 = x^2-y^2+i~ 2xy$ ，以及 $w=f(z)=u+iv$ ，故 $u(x,y)=x^2-y^2,~v(x,y)=2 x y$ 。
又由於 $w=x^2-y^2+2xy i$ ， $\rho=|w|=\sqrt{(x^2-y^2)^2+(2 x y)^2}=x^2+y^2$ 且 $\displaystyle \phi = \tan^{-1}\frac{2 x y}{x^2-y^2}$

例題2.1-6. $f(z)=z^4$ 與 $g(z) = \bar{z}~ \text{Re}(z)+ z^2+\text{Im}(z)$ 之卡氏座標表示法 $w=u(x,y)+iv(x,y)$ 的形式。

[解]
令 $z=x+iy$ ，則 $f(z)=f(x+iy)=(x+iy)^4=(x^4-6x^2 y^2+y^4)+i(4x^3y-4xy^3)$ ，故
$\begin{align*} u(x,y)&=x^4-6x^2y^2+y^4=(x62-y^2)^2-4x^2y^2,\\ v(x,y)&=5x^3y-4xy^3=4xy(x^2-y^2). \end{align*}$
$g(z)=g(x+iy)=(x-iy)x+(x^2-y^2)+ i 2 x y+y = (2x^2-y^2＋y)+ i x y$ ，所以
$\begin{align*} u(x,y)&=2x^2-y^2-y,\\ v(x,y)&=x y. \end{align*}$

例題2.1-7. $f(z)=e^z$ 寫成 $w=u(x,y)+iv(x,y)$ 的形式。

[解]
令 $z=x+iy$ ，則 $f(z)=f(x+iy)=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)=e^x\cos y+i e^x \sin y$ ，故 $u(x,y)=e^x\cos y,~v(x,y)=e^x\sin y$ 。
當 $\text{Re~}z =1$ 則 $x=1$ ，對應到 $z$ -平面上一條垂直於實數軸的線，被映射到對應點 $w=e(\cos y+i\sin y)$ ，亦即為 $\left|w\right|=e$ 的圓。換句話說，函數 $f(z)=e^z$ 將的直線映射到以原點為圓心半徑等於 $e$ 的圓。

例題2.1-8. $h(z) = z^5+4z^2-6$ 寫成 $w=u(r,\theta)+i v(r,\theta)$ 的形式。

[解]
令 $z=r e^{i\theta}$ ，則 $h(z)=h(r e^{i\theta})=r^5 e^{i5\theta}+4 r^2 e^{i2\theta}-6 =(r^5 \cos 5\theta+4 r^2 \cos 2\theta-6)+i(r^5 \sin 5\theta+4 r^2 \sin 2\theta)$ ，故
$\begin{align*} u(r,\theta) &= r^5 \cos 5\theta+4 r^2 \cos 2\theta-6, \\ v(r,\theta) &= r^5 \sin 5\theta+4 r^2 \sin 2\theta. \end{align*}$

從上面這幾個例子來看，可以發現 $\text{Re}(z) = \frac{z+\bar{z}}{2}$ 以及 $\text{Im}(z) = \frac{z-\bar{z}}{2i}$ ，因此函數 $w=f(z)$ 也可以表示成 z 與 \bar{z} 之組合。例如

\begin{align*} f(z)=f(x+i y) &= 4x^2+i 4y^2 = 4\left(\frac{z+\bar{z}}{2}\right)^2+i 4 \left(\frac{z-\bar{z}}{2i}\right)^2 \\ &=z^2+2z \bar{z}+\bar{z}^2+\frac{1}{i}(z^2-2z\bar{z}+\bar{z}^2)\\ &=(1-i)z^2+(2+2i)|z|^2+(1-i)\bar{z}^2. \end{align*}

線性變換

考慮複數平面上的線性變換 $w=f(z)=Az+B$ ，其中 $A,B\in\cnums$ ，可由下列的基本變換組合而成：

(1) 平移變換 (translation)：設 $A,B\in\cnums$ ，

$T:\cnums \to \cnums:z \longmapsto w=T(z)=z+B$

如此， $T(0)=B$ ，因此若 $B=\alpha+i\beta$ 則 $T(x+iy)=(x+\alpha)+i(y+\beta)$ ，因此此函數表示將 $z$ -平面的圖形(集合)平移 $B=\alpha+i\beta$ 單位，形成 $w$ -平面的圖形(集合)。

(2) 旋轉變換 (rotation)：旋轉角度為 $\alpha$ ，

$R:\mathbb{C} \to \mathbb{C}:z \mapsto w=R(z)=r e^{i(\theta+\alpha)}$

如此， $R(0)=0$ ，且 $R(1)=e^{i\alpha}$ 可呈現旋轉變換R的角度。

(3) 縮放變換 (scaling)：設 $K>0$ ，

$S:\mathbb{C} \to \mathbb{C}:z \mapsto w=S(z)=K~z$

當 $K>1$ 時， $S(z)$ 表示將 $z$ 放大 $K$ 倍；反之當K<1， $S(z)$ 表示將 $z$ 縮小 K 倍。

(4) 旋轉加縮放變換：設 $A\in\cnums$ ，

$f:\cnums \to \cnums:z \mapsto w=f(z)=Az$

若 $A=ae^{i\alpha}$ ，因此 $w=\rho e^{i\phi}=ae^{i\alpha} \cdot re^{i\theta}=a\cdot re^{i(\theta+\alpha)}\Rightarrow \begin{cases} \rho=ar \\ \phi=\theta+\alpha \end{cases}$

則當 $a\gt1$ 表此函數表示將 $z$ -平面的圖形(集合)放大 $a$ 倍，形成 $w$ -平面的圖形(集合)；而當 $a\lt1$ 表示函數作用為縮小。此外，圖形也旋轉 $\alpha$ 角度。

(5) 線性變換 (linear transformation)：設 $A,B\in\cnums$ ，

$L:\cnums \to \cnums:z \mapsto w=L(z)=Az+B$

代表將 $z$ 先經(4)之旋轉縮放變換，再加上(1)的平移變換而得。這種變換不會將集合對應圖形扭曲，經過變換所得的圖形之樣式沒有改變 (夾角不變)，故稱為相似映射 (similarity mapping)。

例題2.1-9. $f(z)=z+b$ ， $b$ 為複數， $z=x+iy~,b=x_0+iy_0$ ，則

f(x+iy)=(x+x_0)+i(y+y_0)

即 $u(x,y)=x+x_0~,v(x,y)=y+y_0$ 或原點移動到 $b$ 點，整個 $z$ 平行移動 $b$ 個單位。

例題2.1-10. 設 $f(z)=(\sqrt{3}+i) z$ ，由於 $\sqrt{3}+i= 2 e^{i\frac{\pi}{6}}$ ，則 $w=f(z)=f(re^{i\theta})=2re^{i(\theta+\frac{\pi}{6})}$ ，因此 $\left|w\right|=2r,~\arg w=\arg z+\frac{\pi}{6}$ ，表示其對應 $w$ 之圖形為原 $z$ -平面圖形放大2倍，並旋轉 $30^\circ$ 度。

例題2.1-11. 設 $f(z)=(1+i)~z$ ，

請說明此函數之作用。

驗證此函數會將 $z$ -平面上的直線 $y=x+1$ 映射到 $w$ -平面上的直線 $u=-1$ 。

[解]
1. 由於 $1+i = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}$ ，因此 $f(z)$ 之作用為 $z \rightarrow \sqrt{2} z \rightarrow e^{i\frac{\pi}{4}} (\sqrt{4} z)$ ，亦即 $f$ 的作用為將 $z$ -平面的圖形先放大 $\sqrt{2}$ 倍後，再經旋轉 $45^\circ$ 度。當然也可以先旋轉 $45^\circ$ 度，再放大 $\sqrt{2}$ 倍後，亦即平移與旋轉變換是可以交換的。下圖顯示一個四邊形經過 $f$ 變換後的情形。
1. 設 $D=\{(x,y)~|~y=x+1\}$ ， $E=\{(u,v)~|~u=-1\}$ 。題意為驗證 $f(D)=E$ 是否成立。方法有二：
  
  (法1) 因 $f(z)=f(x+i y) = (1+i) (x+iy) = (x-y)+i(x+y)$ ，即 $u=(x-y)$ 、 $v=(x+y)$ 。因此， $x=(u+v)/2$ 與 $y=(v-u)/2$ ，代入 $y=x+1$ 可得
  $\frac{v-u}{2} = \frac{u+v}{2}+1=\frac{u+v+2}{2}\implies v-u=u+v+2\implies u=-1.$
  (法2) 先計算 $f$ 之反函數，即 $z = f^{-1}(w) = \frac{w}{1+i}= \frac{(1-i)w}{2}$ ，代入 $w=u+iv$ 展開可得
  $\begin{align*} &x+iy = \frac{(1-i)(u+iv)}{2} = \frac{u+v+i(v-u)}{2}\\ &\implies x = \frac{u+v}{2},~y=\frac{v-u}{2}. \end{align*}$
  剩餘的部分同(法1)的討論可得。

例題2.1-12. 驗證線性變換 $L_1(z)=i(z+1)$ 將 $z$ -平面上的區域 $\text{Re}(z)\ge 1$ 映射到 $w$ -平面上區域 $\text{Im}(z)\ge 2$ 。

[解]
先計算 $L_1$ 之反函數，即 $L_1^{-1}(w) = \frac{w-i}{i}= (-i)(w-i)=1-i w = v-1-i~u$ ，因此
$\begin{align*} &\text{Re}(v-1-iu)=v-1\ge 1 &\implies v = \text{Im}(w)\ge 2. \end{align*}$
亦即 $L_1\big(\{z ~ | ~\text{Re}(z)\ge 1\} \big)= \{ w ~ | ~ \text{Im}(w)\ge 2\}$ 。

例題2.1-13. 求線性變換 $w=L(z)$ 將 $z$ -平面上的橢圓 $|z-\sqrt{3}|+|z+\sqrt{3}|=4$ 旋轉 $30^\circ$ ，並平移 $(2,1)$ (即向右2單位，向上1單位)。另請計算該橢圓經過變換 $L$ 作用後之圖形方程式。

[解]
所求的線性變換為 $w=L(z) = e^{i\frac{\pi}{6}} z+2+i$ 。又因 $L$ 之反函數為 $z=L^{-1}(w)=e^{-i\frac{\pi}{6}} (w-2-i)$ ，因此所求為
$\left| e^{-i\frac{\pi}{6}} (w-2-i)-\sqrt{3} \right|+\left|e^{-i\frac{\pi}{6}} (w-2-i)+\sqrt{3}\right|=4$
此式可化簡如下：
$\begin{align*} &\left| w-2-i-\sqrt{3}e^{i\frac{\pi}{6}} \right|+\left| w-2-i+\sqrt{3}e^{i\frac{\pi}{6}}\right|=4\\ &\implies \left| w-2-i-\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}+i}{2} \right|+\left| w-2-i+\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}+i}{2} \right|=4\\ &\implies\left| w-\frac{7}{2}-\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) i \right|+\left| w-\frac{7}{2}-\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)i\right|=4. \end{align*}$
仍然是個橢圓。

例題2.1-14. 驗證線性變換 $w=L_2(z)=(-1+i)z-2+3i$ 將 $z$ -平面上區域 $\text{Re}(z)\le -1$ 映射到 $w$ -平面上區域 $v\le u+3$ 。

[解]
因 $L$ 之反函數為 $\displaystyle z=L_2^{-1}(w)=\frac{w+2-3i}{-1+i}=\frac{-u+v-5+i(1-u-v)}{2}$ ，因此所求為
$\text{Re}(z)=\frac{-u+v-5}{2}\le -1 \implies v\le u+3.$

結合例題2.1-12與2.1-14可知， $z$ -平面上區域 $\text{Re}(z)\ge 1$ 經過 $L_1$ 與 $L_2$ 作用後，效果如圖2.1-1所示。從此圖明顯看出變換 $L_1$ 是繞 $z=-1$ 逆時針旋轉 $90^\circ$ ，而 $L_2$ 則是繞 $z=-\frac{5}{2}+\frac{i}{2}$ 旋轉 $135^\circ$ ，再放大 $\sqrt{2}$ 倍。圖示如下：

圖2.1-2: $z$ -平面區域 $\text{Re}(z)\ge 1$ 經線性變換 $L_1$ 與 $L_2$ 映射後之圖形。

例題2.1-15. 求將 $D_1(-1-i)$ 映射到 $D_5(-1+3i)$ 之線性變換 $w=L_3(z)$ ，即 $L_3(D_1(-1-i)=D_5(-1+3i)$ 。

[解]
設 $L_3(z)=A z+ B$ ，因 $L_3$ 將圓的半徑放大5倍，因此 $|A|=5$ ，即 $A=5 e^{i\alpha}$ ，因此
$⁍$
為所求。例如取 $\alpha=0$ ，則 $L_3(z)=5z+4+8i$ ；而若取 $\alpha=\pi-\tan^{-1}\frac{4}{3}$ ，則 $L_3(z)=(3-4i)z+6+2i$ 。
本例的 Geogebra 圖示如下：
https://www.geogebra.org/classic/p9tqwpgg?embed

Geogebra 1: 線性變換 $w=f(z)=A z+B$ 的動態計算，請移動 $z_1, z_2, z_3$ 或是改變 $A, B$ 之值，觀察 $w$ -平面的圖形變化

https://www.geogebra.org/classic/jkrydvta?embed

有關複數函數的圖像的視覺化，可以參考以下 Youtube 影片：

Youtube 1: 五種方式呈現複數函數之視覺效果：
https://www.youtube.com/watch?v=NtoIXhUgqSk&ab_channel=Mathemaniac

Youtube 2: 複數函數之視覺呈現：
https://www.youtube.com/watch?v=1l411zv5iFA&ab_channel=Lemmaxiom

習題

例題2.1-2所定義的函數 $\displaystyle f(z)=\frac{A z+B}{C z+D}$ 稱為 Möbius變換，
1. 請驗證函數 $f$ 為1-1，
1. 請證明反函數 $f^{-1}$ 存在的充要條件是 $A D-B C\neq 0$ 。

令 $w=f(z)=iz$ ，求其反函數 $f^{-1}$ 。

設 $w=f(z)=z^4$ ，求此函數所對應的卡氏座標與極座標所對應的四種表示法。

驗證例題2.1-9的 $|z-\sqrt{3}|+|z+\sqrt{3}|=4$ 與 $\left| w-\frac{7}{2}-\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) i \right|+\left| w-\frac{7}{2}-\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)i\right|=4$ 所對應之卡氏座標下之方程式方別為 $\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$ ，以及 $7(u-2)^2-6\sqrt{3}(u-2)(v-1)+13(v-1)^2=16$ 。

Find $f(1+i)$ for the following functions:
(c) $f(z)=f(x+iy)=x+y+i(x^3y-y^2)$

Let $f(z)=z^{21}-5z^7+9z^4$ . Use polar coordinates to find
(b) $f(1+i\sqrt{3})$

Express the following functions in the form $u(x,y)+iv(x,y)$ .
(b) $f(z)=\overline{z}^2+(2-3i)z$ .

Express the following functions in the polar coordinate form $u(r,\theta)+iv(r,\theta)$ .
(a) $f(z)=z^5+\overline{z}^5$ .

6. For $z \neq 0$ , let $f(z)=f(x+iy)=\frac{1}{2}\ln{(x^2+y^2)}+i\space \text{arctan}\space \frac{y}{x}$ . Find

For $z\neq0$ , let $f(z)=\ln{r}+i\theta$ , where $r=|z|$ , and $\theta=\text{Arg}\space z$ . Find
(a) $f(1)$
(b) $f(-2)$
(c) $f(1+i)$
(d) $f(3+4i)$
(e) Is $f$ a one-to-one function? Why or why not?

Suppose that $f$ maps $A$ into $B$ , $g$ maps $B$ into $A$ , and that Equation “ $g(f(z))=z$ , $\forall \space z \in A$ and $f(g(w))=w$ , $\forall \space w\in B$ ” hold.
(a) Show that $f$ is one-to-one.
(b) Show that $f$ maps $A$ onto $B$ .

10. Let $w=f(z)=(3+4i)z-2+i$ .

(a) Find the image of the disk $|z-1|<1$ .

(b) Find the image of the line $x=t$ , $y=1-2t$ for $-\infty<t<\infty$ .

(d) For parts (a) and (b), and (c), sketch the mapping. Identify three points of your choice and their corresponding images.

Find the linear transformations $w=f(z)$ that satisfy the following conditions.
(a) The points $z_1=2$ and $z_2=-3i$ map onto $w_1=1+i$ and $w_2=1$ .
(b) The circle $|z|=1$ maps onto the circle $|w-3+2i|=5$ , and $f(-i)=3+3i$ .
(c) The triangle with vertices $-4+2i$ , $-4+7i$ , and $1+2i$ maps onto the triangle with vertices $1$ , $0$ , and $1+i$ , respectively.