1.5 複數平面上之拓樸 (Topology on the Complex Plane)

在本節首先討論複數平面上的基本點集拓樸，主要應用來建立複數極限的觀念。例如計算欲計算函數$f(z)$ 在 $z_0$ 點的極限值等於 $L$，即

時我們會碰到 $z\to z_0$ 的過程，有無限多條可能從 $z$ 到 $z_0$ 的路徑 (一條曲線)，因此需先討論從 $z$ 到 $z_0$ 的曲線。

曲線

曲線可從其參數化來定義：

$\begin{aligned} \mathscr{C}:~z:&[a,b]\to\mathbb{C} \\ &t\mapsto z(t)=x(t)+i y(t) \end{aligned}$，此處 $z(t)$ 稱為曲線 $\mathscr{C}$ 之參數化。一般而言對應的 $x(t)$ 與 $y(t)$ 都是 $t$ 的連續函數時，因此 $z(t)$ 也會是連續函數。

圖1.5-1: 以參數化映射呈現曲線

相關名詞定義如下：
起點(initial point)
$z(a) = x(a)+i y(a)=z_a$，

終點(terminal point) $z(b) = x(b)+i y(b)=z_b$，

值域 (range) $\text{Range }z=\stackrel{\Large\frown}{z_a z_b}=\{z(t)|t\in[a,b]\}$ 就是指曲線 $\mathscr{C}$ 本身 。

定義1.5-1. 曲線 $\mathscr{C}$ 為閉合曲線(closed curve)的充要條件為曲線 $\mathscr{C}$ 的起點與終點重合 ($z_a = z_b$) 。

定義1.5-2. 曲線 $\mathscr{C}$ 為平滑曲線(smooth curve)的充要條件為曲線 $\mathscr{C}$ 的參數化函數 $z(t)$ 在 $[a,b]$ 上可微(differentiable)時，即 $x(t)$ 與 $y(t)$ 在 $[a,b]$ 上可微。

定義1.5-3. 曲線 $\mathscr{C}$ 為簡單曲線(simple curve)的充要條件為$z(t)$ 在 $[a,b]$ 上為1-1映射 (one-to-one map)，即不存在 $t_1\neq t_2 \in[a,b]$ 上使得$z(t_1)=z(t_2)$ ，亦即曲線 $\mathscr{C}$ 圖形沒有自我相互交叉的 (self-intersective) 現象。

例題1.5-1. $\mathscr{C}:\begin{aligned} z(t)&=z_0+t(z_1-z_0),~t\in[0,1] \\ &=(1-t)z_0+t z_1 \end{aligned}$ 表示連接$z_0$ 到 $z_1$ 之直線 $\overline{z_0 z_1}$，圖示如下：

圖1.5-2: 直線 $\overline{z_0 z_1}$ 之參數化

則有

由於此曲線上任意點的 $dz/dt$ 均存在，這是一條平滑(smooth)曲線。此曲線之逆向(inverse)曲線定義為

即 $\gamma(0)=z(1)=z_1$ 以及 $\gamma(1)=z(0)=z_0$（即起點、終點互換）。

一般而言，此曲線的起點與終點是不相同的 ($z_0\neq z_1$)，這種曲線稱為開 (open) 曲線；同時當 $t_1\neq t_2 \in[a,b]$ 時，$z(t_1)-z(t_2)=(1-t_1)z_0+t_1 z_1 -\left[ (1-t_2)z_0+t_2 z_1\right]=(t_2-t_1)(z_0-z_1)\neq 0$，因此 $z(t_1) \neq z(t_2)$，故 $\mathscr{C}$ 為簡單曲線。

定義1.5-4. 曲線 $\mathscr{C}$ 為 Jordan 曲線的充要條件為曲線 $\mathscr{C}$ 為簡單閉合曲線。

下圖表示一個圓，其參數式為 $z(t)=z_0+R e^{i t}, t\in[0, 2\pi]$，明顯地 $z(0)=z(2\pi)$，且函數 $z(t)$ 在 $[0,2\pi]$ 上為1-1映射，因此此圓是一條簡單閉合曲線，亦即是一條Jordan曲線。

圖1.5-3: 圓 $C_R(z_0)$ 之參數化呈現

例題1.5-2 判斷下列曲線是否為 Jordan 曲線？請試著說明原因。

圖1.5-4: 判斷曲線是否為 Jordan 曲線

例題1.5-3. $\mathscr{C}: z(t)=t+1+i(t^2+1),~t\in[-1,1]$ ，則

可得

即圖形為拋物線，圖示如下：

圖1.5-5: 曲線 $\mathscr{C}: z(t)=t+1+i(t^2+1),~t\in[-1,1]$之圖形

曲線的導數為 $dz/dt = 1+2t i$，即曲線 $\mathscr{C}$ 為平滑的。由此計算，可以得知上圖的曲線之切線斜率為 $dy/dx= \frac{dy/dt}{dx/dt}=2t$。

例題1.5-4. 四葉草曲線(four-leaved rose)定義為 $z=\sin(2t) e^{i t}$，其中 $t\in[0,2\pi]$ 之圖形如下：

圖1.5-6: 四葉草曲線(圖形取https://www.stumblingrobot.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ec2835a510128baa010c47a776a1a98_l3.svg)

從圖1.5-6來看，四葉草曲線為閉合、平滑曲線，且其導數為

對應的GeoGebra如下：

在 trinket.io 上 python3 參考程式如下(這個網站目前無法提供animation的動態圖形呈現)：

除非透過python的turtle 功能，結果如下：

點集拓樸

接著定義兩個常用名詞，集合 $C_r(z_0)=\{ z\in\mathbb{C}| |z-z_0|=r\}$ 表以 $z_0$ 為圓心、半徑等於 $r$ 的圓；而集合 $D_r(z_0)=\{ z\in\mathbb{C}| |z-z_0|<r\}$ 表以 $z_0$ 為圓盤心、半徑等於 $r$ 的圓盤；又 $D_r(z_0)$ 的閉包 (closure) 記為 $\overline{D}_r(z_0)=D_r(z_0)\cup C_r(z_0)=\{z\in\mathbb{C} | |z-z_0|\le r\}$， 包含圓盤的邊界在內的集合，以及$D^*_r(z_0)=D_r(z_0)\setminus\{z_0\}=\{ z\in\mathbb{C}| 0<|z-z_0|<r\}$ 稱為去心圓盤 (punctured disk)。

圖1.5-7: 圓、圓盤、去心圓盤示意圖

定義1.5-5. 設 $z_0\in S\subseteq\cnums$ ，則 $D_\varepsilon(z_0)$ 稱為 $z_0$ 的 $\varepsilon$ 鄰域 ($\epsilon$-neighborhood of $z_0$ )。

圖1.5-8: $z_0$ 的鄰域示意圖

定義1.5-6. 設 $S^c$ 為 $S$ 之補集(complement)，即 $S^c=\Complex\setminus S$。集合 $S$ 的內部點、外部點與邊界點定義如下：

• $z_0$ 為集合 $S$ 的內部點 (interior point) 的充要條件為 $\exists \varepsilon>0 \text{ s.t. } D_\varepsilon(z_0)\subset S$；

• $z_0$ 為集合 $S$ 的外部點 (exterior point) 的充要條件為 $\exists \varepsilon>0 \text{ s.t. } D_\varepsilon(z_0)\subset S^c$ (或 $\exists \varepsilon>0 \text{ s.t. } D_\varepsilon(z_0)\cap S=\varnothing$)；

• $z_0$ 為集合 $S$ 的邊界點 (boundary point) 的充要條件為 $\forall \varepsilon>0 \text{ s.t. } D_\varepsilon(z_0)\cap S\neq\varnothing \land D_\varepsilon(z_0)\cap S^c\neq\varnothing$。

此處 $\varnothing$ 表示空集合。

集合 $S$ 的所有內部點所形成的集合稱為內部(interior) ，記為 $\mathring{S}=\text{int}S$ ；集合 $S$ 的所有外部點所形成的集合稱為外部(exterior) ，記為$\text{ext}S$ ，集合 $S$ 的所有邊界點所形成的集合稱為邊界(boundary)，記為 $\partial S$ 。

圖1.5-9: 集合的內部、邊界與外部示意圖

從圖1.5-3所顯示圓 $C_R(z_0)$ 的箭頭方向為逆時針旋轉，參照圖1.5-9，沿邊界逆時針行進時，內部點在來路徑的左側，因此定義為正向(positive orientation)或逆時針 (counterclockwise)，以圖1.5-3為例應表成 $C_R^+(z_0)$；反之順時針旋轉前進，則稱為逆向， 因此 $C_R^-(z_0)$ 對應的圖形為將圖1.5-3的箭頭方向逆轉可得；明顯地 $C_R^-(z_0)=-C_R^+(z_0)$。

例題1.5-5. $S=\begin{Bmatrix} 1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\cdots \end{Bmatrix}=\{\frac{1}{n}~|~n\in\N\}$，求 $S$ 的邊界點集合。

• [解]

  注意：$S^c = \mathbb{C}\setminus S=\mathbb{C}\setminus \{1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots\}$ 以及 $D_\varepsilon(\frac1n)=\{z: |z-\frac1n|<\varepsilon\}$；同時對任意實數 $a$、$b$，定義

  $(a,b)=\{ z : z(t)=a+t(b-a), t\in(0,1)\}$。 因此 $D_\varepsilon(\frac1n)\cap \mathbb{R}=(\frac{1}{n}-\varepsilon,\frac{1}{n}+\varepsilon)$。

  • Claim: $\frac{1}{n}\in\partial S$，$\forall n\in\N$。

    給定 $\forall n\in\N$，則 $\forall \varepsilon>0$ ，因 $(\frac{1}{n}-\varepsilon,\frac{1}{n}+\varepsilon)\cap S \supset \{ \frac1{n} \}$，即 $D_\varepsilon(\frac{1}{n}) \cap S \supset\{ \frac1{n} \} \neq \varnothing$，且$D_\varepsilon(\frac{1}{n}) \cap S^c \supset \{\frac1n+\frac{\varepsilon}{2}i\}\neq \varnothing$，故 $\frac{1}{n}\in\partial S$。

  • Claim: $0\in\partial S$。

    由實數完備性得知，$\forall \varepsilon>0$，存在 $m\in \N$ 使得 $\frac{1}{m}\lt\varepsilon$，故 $\{\frac1{m}\}\subset (-\varepsilon,\varepsilon)\cap S$，即 $\{ \frac1{m} \} \subset D_\varepsilon(0) \cap S \neq \varnothing$，當然 $\{\frac{\varepsilon}{2}i\}\subset D_\varepsilon(0) \cap S^c \neq \varnothing$。

  由上述兩部分的證明可以得知 $\partial S=S\cup \{ 0 \}$ 。$\hspace{5.5cm}\blacksquare$

例題1.5-6. 給定集合 $S=\{z\in\mathbb{C}~ |~ |z|\le 1\}$，求集合 $S$ 之內部、邊界與外部。

• [解]

  集合 $S$ 之內部為 $\text{int}S=D_1(0)$、邊界為 $\partial S = C_1(0)$ 與外部為 $\text{ext}S=\mathbb{C}\setminus S$，需進一步驗證定義1.5-6是否成立。

  Claim: $\text{int}S = D_1(0)$.

  明顯地 $D_1(0)\subset S$ 成立。設任意點 $z_0\in D_1(0)$，則有 $|z_0|<1$ 且 $\exists~ \varepsilon = 1-|z_0|>0$ 使得若 $z\in D_\varepsilon(z_0)$ 則有

  $$|z| = |z-z_0+z_0|\le |z-z_0|+|z_0| < \varepsilon+|z_0| =1$$

  亦即 $z\in D_1(0)$，因此 $D_\varepsilon(z_0)\subset D_1(0)\subset S$，得 $z_0$ 是 $S$ 的內點，由於 $z_0$ 是 $D_1(0)$ 的任意一點，即 $D_1(0)$ 為 $S$ 之內部點形成的集合，如此可知 $D_1(0)$ 為 $S$ 之內部。

  有關邊界與外部的驗證定義1.5-6成立，當成習題練習。

定義1.5-7. 集合 $S$ 為開、閉與連通的定義如下：

• 集合 $S$ 為開集合 (open set) 的充要條件為 $S$ 內的每個點都是內部點，即 $S = \text{int} S$。

• 集合 $S$ 為閉集合 (closed set) 的充要條件為 $S$ 包含所有的邊界點在內，即 $\partial S \subset S$。

• 集合 $S$ 的連通集合 (connected set) 的充要條件為存在連接集合$S$內任意兩點的曲線完全落在$S$內，即 $\forall z_1, z_2\in~S，\exists \stackrel{\Large\frown}{z_1z_2} D\subset S$。

例題1.5-7. 證明 $A=\{z\in\mathbb{C}~ |~ |z|< 1\}$ 為開集合。

• [解]

  已知 $\text{int}A \subset A$ 。欲證 $\text{int}A = A$，設任意點 $a\in A$，則有 $|a|<1$ 且 $\exists~ \varepsilon = 1-|a|>0$ 使得若 $z\in D_\varepsilon(a)$ 則有

  $$|z| = |z-a+a|\le |z-a|+|a| < \varepsilon+|a| =1$$

  

  亦即 $z\in A$，因此 $D_\varepsilon(a)\subset A$，得 $a$ 是內點，即 $a\in \text{int} A$， 因此$A\subset \text{int}A$ ，故所求成立。 $\blacksquare$
  
  

例題1.5-8. 證明 $S$ 為閉集合若且唯若 $S^c$ 為開集合。

• [解]

  (必要條件) 若 $S$ 為閉集合，且設 $z\in S^c$ ，則 $z\not\in S$。 由閉集合之定義1.5-7知 $\partial S \subset S$ ，故 $z\not\in \partial S$ 。由邊界點定義， $\exists~ \varepsilon\gt0$ 使得 $D_\varepsilon(z)\cap S=\varnothing$ 或 $D_\varepsilon(z)\cap S^c=\varnothing$ 。但 $z\in D_\varepsilon(z)\cap S^c$ ，故 $D_\varepsilon(z)\cap S=\varnothing$ 表示 $D_\varepsilon(z) \subset S^c$ ，即證明任意 $S^c$ 內的任何一點均存在一個鄰域 $D_\varepsilon(z)\subset S^c$ ，所以 $S^c$ 為開集合。

  (充分條件) 若 $S^c$ 為開集合且設 $z\not\in S$ ，故 $z\in S^c$ 。由 $S^c$ 為開集合， $\exists~ \varepsilon \gt 0$ 使得 $D_\varepsilon(z)\subset S^c$， 表示 $D_\varepsilon(x)\cap S = \varnothing$， $z$ 不為 $S$ 之邊界點，即 $z\not\in \partial S$ ，所以 $\partial S \subset S$，故 $S$ 為閉集合。$\hspace{11.5cm}\blacksquare$

例題1.5-9. 單位圓盤 $D_1(0)$ 以及環(annulus) $A=\{z\in\mathbb{C}~|~1<|z|<2\}$ 均為連通集。

• [解]

  在此證明單位圓盤 $D_1(0)$ 為連通集，至於環 $A$ 亦是連通的證明當成習題。

  設 $z_1, ~z_2\in D_1(0)$，則有 $|z_1|<1$ 與 $|z_2|<1$，取 $\stackrel{\Large\frown}{z_1z_2}=\overline{z_1 z_2} = \{ (1-t) z_1+t z_2 ~|~ t\in[0,1]\}$。

  若 $z\in \overline{z_1 z_2}$，存在 $t_* \in[0,1]$ 使得 $z= (1-t_*) z_1+t_* z_2$，因此

  $$\begin{aligned} |z|&=|(1-t_*) z_1 +t_* z_2|\le (1-t_*)|z_1|+t_*|z_2|& (\because \text{三角不等式}) \\ &\le(1-t_*)|z_1|+t_*|z_2| & (\because 1-t_*,~t_*\in[0,1]) \\ &\le (1-t_*)+t_*=1. &(\because |z_1|<1,~|z_2|<1) \end{aligned}$$

  所以 $z\in D_1(0)$，因此 $\overline{z_1 z_2}\subset D_1(0)$，得證 $D_1(0)$ 為連通。$\hspace{4cm}\blacksquare$

圖1.5-11: 集合為連通或非連通之示意圖

定義1.5-8. $z_0$ 稱為集合 $S$ 之聚點 (accumulation point) 的充要條件為 $\forall \varepsilon>0$, 去心鄰域 $D_\varepsilon^*(z_0)$ 內至少包含 $S$ 內的一個元素($\#\{D_\varepsilon(z_0)\cap S\}\ge 1$)。

此處 $\#$ 表示集合元素的數量 (cardinal number)。

例題1.5-10.

1. $\overline{D}_1(0)$ 為單位圓盤 $D_1(0)$ 的聚點所形成的集合。

2. 原點 $z=0$ 為集合 $S=\{\frac{i}{n}~|~n=1,2,\ldots\}$ 的唯一聚點。

定義1.5-9. 集合 $S\subseteq\cnums$ 為有界 (bounded) 的充要條件為存在正數 $M$ 對任意的 $z\in S$ 均有 $|z|\le M$；換句話說存在正數 $M$ 對使得 $S\subseteq \overline{D}_M(0)$ 。反之，集合 $S$ 為非有界 (unbounded) 。若有界集合 $S$ 亦為閉集合稱之為緊緻集合 (compact set)。

圖1.5-12: 有界集合必落在某個圓盤 $D_M(0)$ 之內。

以集合$S=\begin{Bmatrix} 1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\cdots \end{Bmatrix}$ 為例，由範例1.5-5知 $\partial S \not\subset S$ ，因此 $S$ 不是閉集合。又 $\forall z \in S$ ，知 $|z| \le1$，即 $S$ 為有界集。 $S$ 雖然為有界集合但不是閉集合，因此 $S$ 不是緊緻集合。

定義1.6-10. 集合 $D$ 是一個域 (domain) 的充要條件是集合 $D$ 是連通開集合。
集合
$D$ 是一個區域 (region) 的充要條件是集合 $D$ 是一個域，且 $D$ 可能包含有一部份或全部的邊界點，以及 $D$ 可能不包含任何邊界點。又封閉區域 (closed region) 係指一個域和它的邊界所形成的集合 $D\cup \partial D$。

域與定義域之意義不同，雖然英文都是domain，定義域是針對函數在哪些區域，其對應的值存在，而定義1.6-10所稱之域，指的是複數平面上任意的連通開集合。

定理1.6-1. (Jordan曲線定理, Jordan Curve Theorem) 設 $\mathscr{C}$ 為複數平面 $\mathbb{C}$ 上的 Jordan 曲線，則 $\mathbb{C} = I \cup \mathscr{C} \cup E$，其中 $I$ 為 $\mathscr{C}$ 的內部 (interior)， $\mathscr{C}$ 為其本身的邊界，而 $E$ 為 $\mathscr{C}$ 的外部(exterior)，且$I$與 $\mathscr{C}$ 為有界集合，$E$ 為無界集合。

[證明] 超出本書的範圍，故省略之。有興趣的同學可以從本節的參考文獻[2]學習相關的證明。

Jordan曲線定理[1]是數學上的典型例子，定理是明顯成立，但卻又很難證明。從歷史上來瞭解，原始的 Camille Jordan 提出的定理敘述是不完全正確的，一直到1905年數學家 Oswald Veblen 才完成此定理正確敘述。 定理證明的困難點為如何解析的定義出內部與外部的簡單閉合曲線，使得後面的證明集合是連通時，可以容易建構出集合內任意兩點的連接曲線。

圖1.5-13: $z_1, z_2$ 是在曲線的內部還是外部？(取自 Mathew and Howell, Complex Analysis, 6th ed., Jones & Bartlett Learning, 2012, Figure 1.32)

Jordan曲線定理提出了一個同構映射的想法，即將任意的 Jordan 曲線對應到 (單位)圓，而曲線內部區域則對應到圓內的區域，即是曲線內部對應到 (單位) 圓盤內。Jordan曲線定理只在平面上成立，但在環面 (torus) 與 Möbius 環 (strip) 上是不成立的。