1.1 複數簡史 (The History of Complex Numbers)

二次方程以及三次方程的幾何觀點

考慮一個二次方程式

在中學時期我們就已經學過如何求解 (1.1-1) 我們只需要使用廣為人知的一元二次方程式

其解的公式 (quadratic formula) 為

對於給定的一元二次方程式 (1.1-1) ，對應到方程式 (1.1-2) 的形式寫得 $a=1, b=-m, c=-n$，因此我們可以使用式 (1.1-3) 得出

方程式 (1.1-1) 的解所代表的幾何意義為拋物線 $y =x^2$ 與直線 $y =mx + n$ 的交點，透過下面的小程序中， 拖動下面的滑塊 $m$ 與 $n$，觀察交點 $x_0$ 和 $x_1$ 會發生什麼。

從上圖觀察，解存在於下面三種情形：

1. 有兩個交點，即方程式有兩個解；

2. 只有一個交點，即方程式只有一個解；

3. 沒有交點，表示方程式沒有實數解（不是沒有解）。

令人驚訝的是，即使沒有使用數學符號或計算機，這一點自古以來就已為人所知。 我們從公元前 2000 年左右的泥板得知，巴比倫文明擁有二次公式，使他們（以口頭形式）能夠求解二次方程。 由於負數的概念要等到十六世紀才出現，巴比倫人並沒有考慮負數解。 我們還可以在古希臘人發展的幾何學中找到隱含的方程，正如我們在研究圓、拋物線等時所期望的那樣，但我們並不要求每個幾何問題都有一個解決方案。

現在回到二次方程 $x^2 = mx +n$ 考慮 $m=0$ 以及 $n = -1$ ，亦即方程式變成 $x^2+1=0$。使用 $(4)$ 我們可以得到

這代表什麼？ 何謂 $\sqrt{-1}$？從小中學數學到大學的微積分，我們是無法計算負數的平方根。 那麼，如何解讀這個值呢？ 如圖一所示，從幾何角度來說，我們可以將拋物線 $y = x^2$ 和直線 $y = -1$ 彼此並不相交，換句話說，沒有實數解。一般來說，如果 $\frac{m^2}{4} + n < 0$ 則 $x^2 = mx +n$ 沒有沒有實數解。因此解 $x = \pm \sqrt{-1}$ 的意義又是如何？

有人認為，這導致了一個新數字的發明 $i$ 它等於 $\sqrt{-1}$ ，並被命名為虛數( imaginary)。如果我們使用 $i$ 表示，則此數會滿足 $i^2 = -1$ 這一條件，表示說該值就是方程 $x^2 +1 = 0$ 的解。如此一來，在數學課程中引入 $a+b\sqrt{-1}$ 型式的複數，來求解一元二次方程式 （例如 $x^2 +1 = 0$ ）。

然而從數學發展的過程來說，複數實際上是由於要求解一元三次方程式的需要而出現的。 值得一提的是，當一元二次方程和三次方程首次出現時，當時人們並不會要求所有的方程式都要有解。

那麼複數真正的重要性在哪裡呢？ 為了回答這個問題，讓我們考慮下面的退化三次方程：

在幾何上，此方程式代表三次函數 $y = x^3$ 與直線 $y=px+q$ 的交點，參考以下程序顯示圖形所示， 請拖動下面的滑塊並觀察會曲線和直線之間發生什麼現象。

正如從圖上所觀察到的，無論參數 $p$ 和 $q$ 如何移動，兩者所定義出任意一條線，總是會和 $y = x^3$ 的曲線相交於某處，即便當線 $px+q$ 垂直於 $x$ 軸並且遠離原點時（即當 $p$ 和 $q$ 時都是非常大的正/負數），兩線交點仍然存在。 這是因為三次函數的值域一直從 $-\infin$ 到 $+\infin$， 因此無法繪製任何不會與 $y=x^3$ 相交的直線。 此例說明三次函數$x^3$與拋物線 $x^2$ (對應到二次方程式)的情況非常不同，因為後者，都可以定義一條出一條線 $mx+n$，使其不會與拋物線相交。

三次方程式的解

眾所周知，退化三次方程式 $x^3=px+q$ 的解是由意大利數學家在文藝復興時期（15 世紀和 16 世紀）提出的。 Scipione del Ferro (1465-1526) 和 Niccolò Tartaglia (1500-1557) 以及 Girolamo Cardano (1501-1576) 證明 $x^3 = px + q$ 的解為

這被稱為卡爾達諾公式 (Cardano’s formula)，在這裡我們使用現代符號來呈現。

$$\text{圖 1.1-2：數學家 N. Tartaglia}$$

$$\text{圖1.1-3：數學家 G. Cardano}$$

我們可以藉由 $x^3 = -6x + 20$ 來了解其運作原理。在這一情形之下 $p = -6$ 以及 $q = 20$ 。將這些條件代入 $(6)$ 我們可以知道解為

化簡我們得到 $x=2$ (如何得?)，這是給定方程的一解，因為

因此，至少對於目前情況而言，這個公式似乎非常有效。

讀者練習：請嘗試使用 Cardano 公式求解方程式 $x^3=6x+6$ 。

虛數的起源

發現 Cardano 公式幾年後，意大利工程師兼建築師拉斐爾·邦貝利（Rafael Bombelli，1526-1572）認識到這個公式有些奇怪和矛盾。 他考慮了方程

也許只需稍加思考，您就會發現 $x=4$ 是一個解決方案。 這也可以從圖四中看出。實際上有三種解決方案，但 Bombelli 沒有考慮負值，所以我們也不考慮。

Bombelli 利用 Cardano 公式求解 $x^3=15x+4$ 。因此，考慮 $p=15$ 和 $q=4$ ，他得到

在這裡他遇到了一個非常不尋常的值。 如果 Cardano 的公式是正確的，這個數字一定等於4。但這一定是無稽之談，這個值不可能是實數，因為在立方根內部我們取負數的平方根，這在當時是絕對不可能的（並且現在也是如此）。 Cardano 也遇到過這個困難，但他沒有面對。 他確實曾經提到過虛數，但與二次方程有關，並附有這樣的評論：這些數字「既微妙又無用」。

然而，Bombelli 克服了這個困難，因為他發現 Cardano 公式給出的 $x$ 的奇怪表達式 (1.1-8) 實際上是真實的，但以一種非常不熟悉的方式表達。 這種洞察力來之不易。 正如 Bombelli 在他的《L’Algebra》一書中寫道：

儘管對許多人來說這似乎是一件不切實際的事情，因為即使我不久前也持有這種觀點，因為它在我看來比真實的更複雜，但我努力搜索並找到了證明，這將在下面指出。… 但是讀者必須堅定他的思想，否則他也會覺得自己被欺騙了。(And although to many this will appear an extravagant thing, because even I held this opinion some time ago, since it appeared to me more sophistic than true, nevertheless I searched hard and found the demonstration, which will be noted below. ... But let the reader apply all his strength of mind, for [otherwise] even he will find himself deceived.)

Bombelli 的偉大見解就是將 $\sqrt{-1}$ 視為一個數字，並按照一些特定的算術規則（與我們現在使用的規則相同）對其進行運算。 於是他發現

將這些值代入 $(8)$ ，Bombelli 得到

然後他證明了負數的平方根可以相互抵消。並得出結論， $x=4$ 實際上是從 Cardano 公式獲得的 $x^3=15x+4$ 的解，參見圖六。這個技巧僅在少數情況下有效，但是，它有助於理解虛數並求其立方根或進行操作當它們出現在實數旁邊時。

當然，正如您在圖六中看到的那樣，Bombelli 不具備當今代數符號的能力（也不具備計算機程式能力），並且他的計算僅限於「實域」中的數字。 事實上，當時大多數意大利數學家傾向於將立方體或正方形視為幾何對象而不是代數量。 然而，他因證明三次方 $x^3=15x+4$ 的根的真實性而受到讚譽，因為他證明了實數可以由虛數產生的非凡事實。

Cardano 的公式迫使數學家面對負數的平方根。 這一歷史事件是另一個否定數學是由數學家「編造」的普遍觀點的例子。 通常情況下，是數學本身對我們說話。 從那時起，虛數失去了一些神秘的特徵，儘管它們直到 1800 年代才被完全接受為真正的數字。

讀者練習：驗證 $\sqrt[3]{2 \pm \sqrt{-121}} = 2 \pm \sqrt{-1}$ 。

例題：計算 $x^3=15x+4$ 之根。

• [解]

  假設 $x=y+\frac{k}{y}$，代入上式可得

  $$\begin{align*} &\left(y+\frac{k}{y}\right)^3 = 15 \left(y+\frac{k}{y}\right)+4 \\ \implies & y^3 + 3(y^2)\frac{k}{y}+3 (y) \frac{k^2}{y^2}+\frac{k^3}{y^3} =15 y +\frac{15 k}{y}+4 \\ \text{令~} k=5 \implies &y^3+\frac{5^3}{y^3}=4\\ \implies & (y^3)^2 -4 (y^3)+5^3 = 0 \end{align*}$$

  因此 $y_{1,2}^3 = \frac{4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 5^3}}{2}=2\pm \sqrt{4-5^3}=2\pm \sqrt{121}i = 2\pm 11 i$，亦即 $y_{1,2}=2\pm i$。由方程式 $(y^3)^2 -4 (y^3)+5^3 = 0$ 可知 $y_1^3\cdot y_2^3 = 5^3$，亦即 $y_1 \cdot y_2 = 5$。所以 $x=y_1+\frac{k}{y_1}=y_1+y_2 = 2+i + 2-i = 4$ 為 $x^3-15x-4=0$ 之一根。又由於

  $$x^3-15x-4 = (x-4)(x^2+4x+1)$$

  其餘二根為 $x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2 - 4}}{2}=-2\pm \sqrt{4-1}=2\pm \sqrt{3}$。因此 $x^3=15x+4$ 之三個根分別為 $2$、$2\pm \sqrt{3}$。
  
  注意：若三次退化方程式為 $x^3=px+q$，則 $x=y+\frac{p/3}{y}$，且上述的解法所得的$y$ 為 $y_{1,2}=\sqrt[3]{\frac{q}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{3}\right)^3}}$，可得公式(1.1-6)：

  $$x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{3}\right)^3}}+\sqrt[3]{\frac{q}{2}- \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{3}\right)^3}}.$$

複數的成熟

Cardano 和 Bombelli 之後的許多數學家對虛數（或複數）做出了重要貢獻。 例如，勒內·笛卡爾（René Descartes，1596-1650）在其 1637 年出版的《La Géométrie》一書中創造了「虛數 imaginary」一詞，如下：

真根和假根都不總是真實的； 但有時只是想像。(Neither the true nor the false [negative] roots are always real; but sometimes only imaginary.)

約翰·沃利斯 (John Wallis，1616-1703) 於1685年展示如何用圖形顯示實係數二次方程的複雜根(開平方根)之幾何義意。卡斯帕·韋塞爾 (Caspar Wessel，1745-1818) 和讓-羅伯特·阿甘 (Jean-Robert Argan，1768-1822) 提供了以向量表示複數作為複數的幾何表示法。

倫納德·歐拉（Leonard Euler，1707-1783）標準化了符號 $i = \sqrt{-1}$ 並使用虛數來求解一元二次和三次方程，儘管他仍然對這些數字表示懷疑。 例如，在他的《Algebra》中，他提到：

由於所有可能想到的數字要麻大於或小於 0，要麻本身就是 0，所以顯然我們不能將負數的平方根排在可能的數字中，因此我們必須說這是一個不可能的數字數量。 通過這種方式，我們產生了數字的概念，從本質上講，數字是不可能的。 因此它們通常被稱為虛數，因為它們僅存在於想像中。(since all numbers which it is possible to conceive are either greater or less than 0, or are 0 itself, it is evident that we cannot rank the square root of a negative number amongst possible numbers, and we must therefore say that it is an impossible quantity. In this manner we are led to the idea of numbers, which from their nature are impossible; and therefore they are usually called imaginary quantities, because they exist merely in the imagination.)

為了避免有人將此視為譴責，他繼續說道：

儘管如此，這些數字還是浮現在腦海中。 它們存在於我們的想像中，我們對它們仍然有足夠的了解。沒有什麼可以阻止我們利用這些虛數，並在計算中使用它們。(notwithstanding this, these numbers present themselves to the mind; they exist in our imagination, and we still have a sufficient idea of them; [...] nothing prevents us from making use of these imaginary numbers, and employing them in calculation.)

後來卡爾·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）引入了術語「複數 complex number」，指的是 $a+b\ i$ 形式的數字。 在他漫長的職業生涯中，他還給出了代數基本定理的四個證明。 該定理告訴我們，任何 $n$ 次多項式都有 $n$ 個根，其中部分或全部可能是虛數。 高斯給出的第一個證明是在他 1799 年的博士論文中。最後一個（也許是最優雅的）不僅允許使用複數來表示變量，還允許使用複數來表示係數。 由於這必然取決於對複數的識別，Gauss 幫助鞏固了這些數字的地位。

複數的第一個嚴格定義是由威廉·羅文·漢密爾頓（William Rowan Hamilton，1805-1865）給出的。 1831年他向愛爾蘭科學院提出，複數 $a+b\ i$ 可以被視為一組數對 $(a,\ b)$ ，其中 $a,\ b$ 為實數。[2] 然後他定義了對的加法和乘法如下：

以及

這實際上是複數的代數定義。 從教學和啟發的角度來看，最好通過幾何解釋引入複數。 但從邏輯的角度來看，數對理論更令人滿意，因為它從實數的一致性出發顯示了複數理論的一致性。

$$\text{圖1.1-8 ： 數學家 W. R. Hamilton}$$

$$\text{圖1.1-9 ：數學家 A.-L. Cauchy}$$

在做出貢獻的眾多數學家和科學家中，有三位對複分析的發展進程產生了決定性的影響。第一個是奧古斯丁-路易斯·柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789-1857），他發展了複積分理論。 通過使用虛數，柯西能夠計算迄今為止無法計算的「實積分」，獲得了令人驚嘆的結果，例如

和

除了三次方程的解和代數基本定理之外，實積分的計算也證明了虛數的價值。

$$\text{圖1.1-10：數學家 K. Weierstrass}$$

$$\text{圖1.1-11：數學家 B. Riemann}$$

最後，另外兩位重要的數學家是卡爾·維爾斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815-1897）和伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann，1826-1866），他們大約在十九世紀中葉出現在數學舞台上。 Weierstrass 從收斂冪級數的起點發展了該理論，這種方法導致了更正式的代數發展。 Riemann 對複函數的研究貢獻了更加幾何的觀點。 他的思想不僅對複雜的分析產生了巨大的影響，而且對整個數學也產生了巨大的影響，儘管他的觀點只是逐漸確立起來的。

結論

前面對複數的描述並不是故事的結束。 十九世紀和二十世紀的各種發展使我們能夠更深入地了解複數不僅在數學中，而且在工程和物理學中的作用。 複數的歷史非常有趣，我強烈鼓勵讀者查閱此處引用的主要來源，這可以作為深入研究複數出現和發展的歷史細節的起點。

以下為由Welch Labs建立有關虛數的影片給同學參考。