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複變數函數論

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短網址https://ithu.tw/VimO6
課程編號1.1106991120701112e+27
贊助112學年教育部教學實踐研究計畫PMS1122664
113學年教育部教學實踐研究計畫PMS1136447

目錄

符號意義說明

符號意義說明

第一章 簡介

複數經過幾代的數學家努力，以及科學家與工程師的合作，才將相對的理論發展完成。這個理論應用在流體、電路、力學、電磁學，甚至於量子力學的領域。本章將從一元三次方程式的求解，回顧複數的發展簡史，說明複數的幾種表示方式，同時也說明複數之冪次方與開方根的計算，章末提到複數平面上的拓樸以及在球極平面投影的作用下，讓擴充的複數平面和黎曼球面間的能一一對應關係。

1.1 複數簡史 (The History of Complex Numbers)
1.2 複數的代數運算(The Algebra of Complex Numbers)
1.3 複數的幾何表示 (Geometric Representation of Complex Numbers)
1.4 複數的次方與方根 (Power and Root of Complex Numbers)
1.5 複數平面上之拓樸 (Topology on the Complex Plane)

第二章 複數函數

本章學習自變數為複數的函數的定義以及各種性質，如函數的圖形、極限、連續等基本知識 ；再進一步說明次方、根號、倒數、指數、對數等特殊函數的相關性質。

2.1 函數與線性映射 (Functions and Linear Mappings)
2.2 $w=z^n$與$w=z^{\frac1{n}}$之映射 (Mappings)
2.3 極限與連續性 (Limits and Continuity)
2.4 函數的分支 (Branches of Functions)
2.5 互反變換 (Reciprocal transformation) $w=1/z$
2.6 擴充複數平面 (The Expansion of the Complex Plane)

第三章 解析與調和函數

函數在某點可微表示在該點的導數存在，而函數在某點解析則表示在該點的鄰域內均可微，換句話說，可以在該點展開成泰勒級數。

3.1 可微與解析函數 (Differentiable and Analytic Functions)
3.2 柯西黎曼方程式(Cauchy-Riemann Equation)
3.3 調和函數 (Harmonic Function)
補充：向量場與圓柱位勢能 (Vector Field and Cylindrical Potentials)

第四章 數列與冪級數

解析函數的級數展開式。

4.1 複數數列 (Complex Sequence)
4.2 複數級數 (Complex Series)
4.3 幾何級數與收歛定理 (Geometric Series and Convergence Theorems)
4.4 冪級數函數 (Power Series Functions)
4.5 Julia 與 Mandelbrot 集合

第五章 基本函數

定義複數平面上的指數函數、對數函數、指數型函數、三角函數以及雙曲函數等，以及討論基本性質。

5.1 複指數函數 (Complex Exponential Functions) $\exp(z)$
5.2 複數對數 (Complex Logarithm) $\log(z)$
5.3 複指數 (Complex Exponent)
5.4 三角與雙曲函數 (Trigonometric and Hyperbolic Functions)
補充：定義域著色 (Domain Coloring)

第六章 複數積分

這一章我們在 C\mathbb{C} 上建立積分的概念，並介紹 Cauchy 定理以建立整個解析函數的基礎。

6.1 複數積分 (Complex Integration)
6.2 圍線 (Contour)
6.3 圍線積分 (Contour Integral)
6.4 Cauchy-Goursat 定理
6.5 微積分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus)
6.6 解析函數之積分表示法 (Integral Representations for Analytic Functions)
6.7 解析函數的相關定理 (Bounds for Analytic Functions)

第七章 Taylor 和 Laurent 級數

透過第六章所學習的 Cauchy 積分公式，可將解析函數表示成Taylor級數的型式，並且將冪級數的項次推廣到負整數，即是所謂的Laurent級數，此級數是研究解析函數奇點 (singularity)及其附近性質的重要工具。

7.1 均勻收斂 (Uniform Convergence)
7.2 Taylor級數 (Taylor Series)
7.3 Laurent 級數表示法
7.4 奇異點、零點與極點 (Singularities, Zeros, and Poles)

第八章 留數理論

本章的目的在運用 Laurent 級數與留數定理，以輕鬆計算實值函數的複雜積分，像三角積分、有理函數或三角函數之瑕積分，積分型舉例如下：

∫02πF(cos⁡aθ,sin⁡aθ)dθ\displaystyle \int_0^{2\pi}F(\cos a\theta, \sin a\theta) d\theta、∫−∞∞1(x2+4)3dx\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x^2+4)^3} dx 、∫0∞xαx(x+1)dx, 0<α<1\displaystyle \int_0^{\infty}\frac{x^\alpha}{x(x+1)} d x,~0<\alpha<1 等。

8.1 留數定理 (Residual Theorem)
8.2 三角積分 (Trigonometric Integrals)
8.3 有理函數之瑕積分 (Improper Integrals of Rational Functions)
8.4 三角函數的瑕積分 (Improper Integrals involving Trigonometric Functions)
8.5 內縮圍線積分 (Indented Contour Integrals)
8.6 分支積分 (Integration with Branch Points)

第九章 保角映射

保角映射或稱為保角變換，其英文為 Conformal Mapping，其中 conformal 的意義為保角之意。其來源可推朔到古希臘的球極平面投影 (stereographic projection)以及1579年Gerardas Mecator (1512-1594)所發展的圓柱投影 (cylindrical map projection)，等兩種與地圖有關的投影均為保角映射。

複分析內函數具有保角特性的充要條件為此函數必須是解析或反解析的(其共軛為解析函數)。本章的重點在於討論 Riemann 映射定理，亦即任意的簡單連通區域，均可被保角映射到單位圓盤上。換句話說，透過單位圓盤上的測度，可以定義出原區域上的測度。

9.1 基本性質 (Basic Properties)
9.2 雙線性變換 (Bilinear Transformation)
9.3 Schwarz-Christoffel 變換與特殊變換
9.4 應用 (Applications)

參考文獻

參考文獻 (References)

互動式動態呈現索引

§1.1 複數簡史

GeoGebra 1 : 一次方程式 ＆ 二次方程式

GeoGebra 2 : 一次方程式 ＆ 三次方程式

§1.2 複數的代數運算

GeoGebra 1 : 複數乘以實數倍

GeoGebra 2 : 複數加法

GeoGebra 3 : 複數減法

GeoGebra 4 : 複數乘法

GeoGebra 5 : 複數除法

§1.3 複數的幾何表示

Geogebra 1: 幅角 Arg z 與 arg z 之關係

§1.4 複數的次方與方根

Geogebra 1: 驗證當~ n=2~時棣美弗 (De Morivre’s) 定理成立

Geogebra 2: z^n=c 的 n 個根(拉動c 點與 n的滑桿觀察根的位置)

§1.5 複數平面上之拓樸

Geogebra 1:四葉玫瑰圖形

Python 1: Python animation 繪出四葉玫瑰圖形

Python 2: Python turtle 繪出動態四葉玫瑰圖形

§2.1 函數與線性映射

Youtube 1: 五種方式呈現複數函數之視覺效果 https://www.youtube.com/watch?v=NtoIXhUgqSk&ab_channel=Mathemaniac

Youtube 2: 複數函數之視覺呈現 https://www.youtube.com/watch?v=1l411zv5iFA&ab_channel=Lemmaxiom

§2.2 w=z^n與w=z^{\frac1{n}}之映射

Geogebra 1: 觀察平方函數映射情形。

Geogebra 2: 觀察集合 \square ABCD 經 f(z)=z^2 映射後之變化情形。

§2.3 極限與連續性

Geogebra 1: 驗證推導 \lim\limits_{z\to i} z^2=-1之 \delta\text{-}\varepsilon 定義。

§2.4 函數的分支

Geogebra 1: 平方根函數之黎曼曲面

Youtube 1: 透過domain coloring 來呈現 f(z)=z12f(z)=z^\frac12 之黎曼曲面https://www.youtube.com/watch?v=mIOvmCyT4DQ&ab_channel=sevisvideos

Youtube 2: 動手作黎曼曲面 https://www.youtube.com/watch?v=4MmSZrAlqKc&ab_channel=WelchLabs

§2.5 互反變換

Geogebra 1: 方格的圖形經互反變換所得鏡像

Geogebra 2: 集合經互反變換所得鏡像

§2.6 擴充複數平面

Geogebra 1: 另一種球極平面投影圖示

§3.3 調和函數

Geogebra 1: 正交曲線族

§4.5 Julia 與 Mandelbrot 集合

Python 1: Newton 迭代求 z3+1=0z^3+1=0 之根

Python 2: f(z)=z3−1.25f(z)=z^3-1.25 之Julia 集合

Python 3: Qc(z)=z2+cQ_c(z)=z^2+c 之Mandelbort 集合

Geogebra 1: L(x)=rx(1−x)L(x)=r x (1-x) 之Cobweb 繪圖

Geogebra 2: fc(x)=x2+cf_c(x)=x^2+c 之Cobweb 繪圖
Youtube 1: Julia set zoom
Youtube 2: Mandelbrot set sequence

Youtube 3: Fractales en la naturaleza
Youtube 4: Beyond the Mandelbrot set, an intro to holomorphic dynamics

§5.1 複指數函數

Python 1: 指數與對數函數圖形

§5.4 三角與雙曲函數

Python 1: 三角函數圖形

Python 2: 雙曲函數圖形

定義域著色

Python 1: 定義域著色繪三角與雙曲函數之圖形

Javascript 1: 定義域著色繪複變數函數之圖形

§6.7 解析函數的相關定理

Python 1: f(z)=∣z2+5z−1∣f(z)=|z^2+5z-1| 之最大模原則

§8.2 三角積分

Geogebra 1: 對積分 I=∫02πdθa2sin⁡2θ＋b2cos⁡2θ\displaystyle I=\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{a^2\sin^2\theta＋b^2 \cos^2\theta}， a, b∈[0,5]a,~b\in[0,5] 變動時之效果

§8.6 分支積分

Geogebra 1: 給定 ∫0∞xαx(x+1)dx\displaystyle \int_{0}^\infty \frac{x^\alpha}{x(x+1)}dx %＝\int_{0}^\infty \frac{1}{x^{1-\alpha}(x+1)}dx 觀察 α\alpha 之效果

Geogebra 2: 給定 P.V.∫0∞ln⁡xx2+a2dx\displaystyle P.V.\int_{0}^\infty \frac{\ln x}{x^2+a^2} dx 觀察 aa 之效果

§9.1 基本性質

Complex Function Plotter 1-https://github.com/brandonpelfrey/complex-function-plot?tab=readme-ov-file

Complex Function Plotter 2- https://github.com/jcponce/complex/tree/gh-pages/function-plotter

§9.5 密舖基本性質

Javascript 1: Hyperbolic Tesselation-Universal Cover

習題參考解答
1.2 參考解答
1.3 參考解答
1.4 參考解答
1.5 參考解答
1.6 參考解答
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4.3 參考解答
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5.4 參考解答
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